Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點為P（1，-2），且經過點A（-3，6），并與x軸交于點B和C．

（1）求這個二次函數的解析式，并求出點C坐標及∠ACB的大小；
（2）設D為線段OC上一點，滿足∠DPC=∠BAC，求D的坐標；
（3）在x軸上，是否存在點M，使得以M為圓心的圓能與直線AC、直線PC及y軸都相切？如果存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵頂點為P（1，-2），
∴設二次函數頂點式解析式為y=a（x-1）²-2，
把點A（-3，6）代入得，a（-3-1）²-2=6，
解得a=

1

2

，
所以，二次函數解析式為y=

1

2

（x-1）²-2=

1

2

x²-x-

3

2

，
即y=

1

2

x²-x-

3

2

；
令y=0，則

1

2

x²-x-

3

2

=0，
整理得，x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴點C坐標為（3，0）；
∵A（-3，6），C（3，0），
∴tan∠ACB=

6

3+3

=1，
∴∠ACB=45°；

（2）∵點P（1，-2），C（3，0），
∴tan∠PCD=

2

3-1

=1，
∴∠PCD=45°，
∴∠PCD=∠ACB，
又∵∠DPC=∠BAC，
∴△DPC∽△BAC，
∴

DC

BC

=

PC

AC

，
∵AC=

62+(3+3)2

=6

2

，PC=

22+(3-1)2

=2

2

，BC=3-（-1）=4，
∴

DC

4

=

2 2

6 2

，
解得DC=

4

3

，
∴OD=OC-DC=3-

4

3

=

5

3

，
∴點D的坐標為（

5

3

，0）；

（3）如圖，①點M在線段OC上時，設AC切⊙O于H₁，連接MH₁，
∵⊙M與直線AC相切，
∴MH₁⊥AC，
∵∠ACB=45°，
∴OC=OM+CM=OM+

2

OM=3，
解得OM=

3

2 +1

=3

2

-3；
此時，點M（3

2

-3，0）；
②點M在射線OB上時，設AC切⊙O于H₂，連接MH₂，
∵⊙M與直線AC相切，
∴MH₂⊥AC，
∵∠ACB=45°，
∴OC=CM-OM=

2

OM-OM=3，
解得OM=

3

2 -1

=3

2

+3．
此時，點M（-3

2

-3，0）．