Question

【題目】如圖，二次函數的圖象與y軸交于C點，交x軸于點A（-2，0），B（6，0），P是該函數在第一象限內圖象上的動點，過點P作PQ⊥BC于點Q，連接PC，AC．

（1）求該二次函數的表達式；

（2）求線段PQ的最大值；

（3）是否存在點P，使得以點P，C，Q為頂點的三角形與△ACO相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）PQ的最大值為；（3）或

【解析】

(1)利用待定系數法，列出二元一次方程組求解即可得出結論；
(2)先確定出直線BC解析式，進而得出PM，再判斷出△OAC∽△OCB，求出AC，進而得出∠MPQ的余弦值，即可得出結論；
(3)分兩種情況，Ⅰ、當△QPC∽△OAC時，利用拋物線的對稱性即可得出結論，Ⅱ、先確定出直線CD的解析式，聯立拋物線解析式即可得出結論．

解：（1）將點A、B坐標代入拋物線解析式中得，

，

∴解：，

∴拋物線解析式為；

（2）設，

令x=0，則，

∴，

∵B（6，0），

∴直線BC的解析式為，

如圖1，過點P作PN⊥x軸于N，交BC于M，

∴點，

∴

，

∵∠AOC=∠COB=∠CQP=∠POM=∠MDB=90°，

∵，

∴△OAC∽△OCB，

∴∠ACO=∠CBO=∠MPQ，

∴△OAC∽△OCB∽△NMB∽△QMP，

∵，

∴，

∵，

∴

∴t=3時，PQ的最大值為；

（3）、①當△QPC∽△OAC時，

∴∠ACO=∠CBA=∠PCQ，

∴PC∥x軸，

由拋物線的對稱性知，點C與點P關于P關于拋物線的對稱軸對稱，

∴；

②、當△QCP∽△OAC時，

∴∠CAO=∠PCQ，

∴tan∠CAO=tan∠PCQ，

如圖2，過點B作BD⊥BC交CP的延長線于D，過點D作DE⊥x軸于E，

∴△OBC∽△EDB，

∴，

∴，

∴OE=OB+BE=12，，

∴，

∵，

∴直線CD的解析式為①

∵②，

聯立①②解得，

（舍）或，

∴．