Question

1．如圖，在平面直角坐標系中，直線l與x軸相交于點M（3，0），與y軸相交于點N（0，-1），反比例函數y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經過線段MN的中點A．
（1）求直線l和反比例函數的解析式；
（2）在函數y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上取不同于點A的一點B，作BC⊥x軸于點C，連接OB交直線l于點P，若△ONP的面積是△OBC的面積的3倍，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據點M、N的坐標利用待定系數法即可求出直線l的解析式，根據點A為線段MN的中點即可得出點A的坐標，根據點A的坐標利用待定系數法即可求出反比例函數解析式；
（2）根據反比例函數系數k的幾何意義即可求出S_△OBC的面積，設點P的坐標為（a，$\frac{1}{3}$a-1）（0＜a＜3），根據三角形的面積公式結合S_△ONP的面積即可求出a值，進而即可得出點P的坐標．

解答 解：（1）設直線l的解析式為y=mx+n（m≠0），
將（3，0）、（0，-1）代入y=mx+n，
$\left\{\begin{array}{l}{3m+n=0}\\{n=-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{3}}\\{n=-1}\end{array}\right.$，
∴直線l的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-1．
∵點A為線段MN的中點，
∴點A的坐標為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．
將A（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$）代入y=$\frac{k}{x}$，
$\frac{k}{\frac{3}{2}}$=-$\frac{1}{2}$，解得：k=-$\frac{3}{4}$，
∴反比例函數解析式為y=-$\frac{3}{4x}$．
（2）∵S_△OBC=$\frac{1}{2}$|k|=$\frac{3}{8}$，
∴S_△ONP=3S_△OBC=$\frac{9}{8}$．
∵點N（0，-1），
∴ON=1．
設點P的坐標為（a，$\frac{1}{3}$a-1）（0＜a＜3），
∴S_△ONP=$\frac{1}{2}$ON•a=$\frac{1}{2}$a=$\frac{9}{8}$，
∴a=$\frac{9}{16}$，$\frac{1}{3}$a-1=-$\frac{13}{16}$，
∴點P的坐標為（$\frac{9}{16}$，-$\frac{13}{16}$）．

點評 本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題、待定系數法求函數解析式以及一次函數圖象上點的坐標特征，根據點的坐標利用待定系數法求出函數解析式是解題的關鍵．