Question

【題目】正方形ABCD中，點P為直線AB上一個動點（不與點A，B重合），連接DP，將DP繞點P旋轉90°得到EP，連接DE，過點E作CD的垂線，交射線DC于M，交射線AB于N．

問題出現：（1）當點P在線段AB上時，如圖1，線段AD，AP，DM之間的數量關系為　 　；

題探究：（2）①當點P在線段BA的延長線上時，如圖2，線段AD，AP，DM之間的數量關系為　 　；

②當點P在線段AB的延長線上時，如圖3，請寫出線段AD，AP，DM之間的數量關系并證明；

問題拓展：（3）在（1）（2）的條件下，若AP=，∠DEM=15°，則DM=　 　．

Answer 1

【答案】(1) DM=AD+AP ;(2) ①DM=AD﹣AP ; ②DM=AP﹣AD ;(3) 3﹣或﹣1．

【解析】

（1）根據正方形的性質和全等三角形的判定和性質得出△ADP≌△PFN，進而解答即可；

（2）①根據正方形的性質和全等三角形的判定和性質得出△ADP≌△PFN，進而解答即可；

②根據正方形的性質和全等三角形的判定和性質得出△ADP≌△PFN，進而解答即可；

（3）分兩種情況利用勾股定理和三角函數解答即可．

（1）DM=AD+AP，理由如下：

∵正方形ABCD，

∴DC=AB，∠DAP=90°，

∵將DP繞點P旋轉90°得到EP，連接DE，過點E作CD的垂線，交射線DC于M，交射線AB于N，

∴DP=PE，∠PNE=90°，∠DPE=90°，

∵∠ADP+∠DPA=90°，∠DPA+∠EPN=90°，

∴∠DAP=∠EPN，

在△ADP與△NPE中，

，

∴△ADP≌△NPE（AAS），

∴AD=PN，AP=EN，

∴AN=DM=AP+PN=AD+AP；

（2）①DM=AD﹣AP，理由如下：

∵正方形ABCD，

∴DC=AB，∠DAP=90°，

∵將DP繞點P旋轉90°得到EP，連接DE，過點E作CD的垂線，交射線DC于M，交射線AB于N，

∴DP=PE，∠PNE=90°，∠DPE=90°，

∵∠ADP+∠DPA=90°，∠DPA+∠EPN=90°，

∴∠DAP=∠EPN，

在△ADP與△NPE中，

，

∴△ADP≌△NPE（AAS），

∴AD=PN，AP=EN，

∴AN=DM=PN﹣AP=AD﹣AP；

②DM=AP﹣AD，理由如下：

∵∠DAP+∠EPN=90°，∠EPN+∠PEN=90°，

∴∠DAP=∠PEN，

又∵∠A=∠PNE=90°，DP=PE，

∴△DAP≌△PEN，

∴AD=PN，

∴DM=AN=AP﹣PN=AP﹣AD；

（3）有兩種情況，如圖2，DM=3﹣，如圖3，DM=﹣1；

①如圖2：∵∠DEM=15°，

∴∠PDA=∠PDE﹣∠ADE=45°﹣15°=30°，

在Rt△PAD中AP=，AD==3，

∴DM=AD﹣AP=3﹣；

②如圖3：∵∠DEM=15°，

∴∠PDA=∠PDE﹣∠ADE=45°﹣15°=30°，

在Rt△PAD中AP=，AD=APtan30°==1，

∴DM=AP﹣AD=﹣1．

故答案為；DM=AD+AP；DM=AD﹣AP；3﹣或﹣1．