Question

已知：PA=

2

，PB=4，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點落在直線AB的兩側．
（1）如圖，當∠APB=45°時，求AB及PD的長；
（2）當∠APB變化，且其它條件不變時，求PD的最大值，及相應∠APB的大小．

Answer 1

（1）①如圖，作AE⊥PB于點E，
∵△APE中，∠APE=45°，PA=

2

，
∴AE=PE=

2

×

2

2

=1，
∵PB=4，∴BE=PB-PE=3，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∴AB=

AE2+BE2

=

10

．
②解法一：如圖，因為四邊形ABCD為正方形，可將
△PAD繞點A順時針旋轉90°得到△P'AB，
可得△PAD≌△P'AB，PD=P'B，PA=P'A．
∴∠PAP'=90°，∠APP'=45°，∠P'PB=90°
∴PP′=

2

PA=2，
∴PD=P′B=

PP′2+PB2

=

22+42

=2

5

；
解法二：如圖，過點P作AB的平行線，與DA的延長線交于F，與DA的
延長線交PB于G．
在Rt△AEG中，
可得AG=

AE

cos∠EAG

=

AE

cos∠ABE

=

10

3

，EG=

1

3

，PG=PE-EG=

2

3

．
在Rt△PFG中，
可得PF=PG•cos∠FPG=PG•cos∠ABE=

10

5

，FG=

10

15

．
在Rt△PDF中，可得，
PD=

PF2+(AD+AG+FG)2

=

( 10 5 )2+( 10 + 10 15 + 10 3 )2

=2

5

．

（2）如圖所示，

將△PAD繞點A順時針旋轉90°
得到△P'AB，PD的最大值即為P'B的最大值，
∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′=

2

PA=2，PB=4，
且P、D兩點落在直線AB的兩側，
∴當P'、P、B三點共線時，P'B取得最大值（如圖）
此時P'B=PP'+PB=6，即P'B的最大值為6．
此時∠APB=180°-∠APP'=135度．