Question

【題目】已知點E、F分別是四邊形ABCD邊AB、AD上的點，且DE與CF相交于點G．

（1）如圖①，若AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°，且ADDF＝AEDC，求證：DE⊥CF：

（2）如圖②，若AB∥CD，AB＝CD，且∠A＝∠EGC時，求證：DECD＝CFDA：

（3）如圖③，若BA＝BC＝3，DA＝DC＝4，設DE⊥CF，當∠BAD＝90°時，試判斷是否為定值，并證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）證明見解析 （3）答案見解析

【解析】

（1）根據已知條件得到四邊形ABCD是矩形，由矩形的性質得到∠A=∠FDC=90°，根據相似三角形的性質得到∠CFD=∠AED，根據余角的性質即可得到結論；
（2）根據已知條件得到△DFG∽△DEA，推出，根據△CGD∽△CDF，得到

，等量代換即可得到結論；
（3）過C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延長線于M，連接BD，設CN=x，△BAD≌△BCD，推出∠BCD=∠A=90°，證△BCM∽△DCN，求出，在Rt△CMB中，由勾股定理得出BM2+CM2=BC2，解方程得到CN，證出△AED∽△NFC，即可得出答案．

（1）證明：∵AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°，

∴四邊形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠FDC＝90°，

∵ADDF＝AEDC，

∴

∴△AED∽△DFC，

∴∠CFD＝∠AED，

∵∠ADE+∠AED＝90°，

∴∠ADE+∠CFD＝90°，

∴∠DGF＝90°，

∴DE⊥CF；

（2）證明：∵∠A＝∠EGC，∠ADE＝∠GDF，

∴△DFG∽△DEA，

∴

∵AB∥CD，AB＝CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，∠AED＝∠EDC，

∴∠B＝∠ADC，

∵△DFG∽△DEA，

∴∠AED＝∠DFG，

∴DFC＝∠GDC，

∵∠DCG＝∠FCD，

∴△CGD∽△CDF，

∴

∴，

∴DECD＝CFDA；

（3）解：為定值，

理由：過C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延長線于M，連接BD，設CN＝x，

∵∠BAD＝90°，即AB⊥AD，

∴∠A＝∠M＝∠CNA＝90°，

∴四邊形AMCN是矩形，

∴AM＝CN，AN＝CM，

∵在△BAD和△BCD中，

∴△BAD≌△BCD（SSS），

∴∠BCD＝∠A＝90°，

∴∠ABC+∠ADC＝180°，

∵∠ABC+∠CBM＝180°，

∴∠MBC＝∠ADC，

∵∠CND＝∠M＝90°，

∴△BCM∽△DCN，

∴,

∴

∴

在Rt△CMB中，，BM＝AM﹣AB＝x﹣3，由勾股定理得：BM2+CM2＝BC2，

∴

x＝0（舍去），

∴

∵∠A＝∠FGD＝90°，

∴∠AED+∠AFG＝180°，

∵∠AFG+∠NFC＝180°，

∴∠AED＝∠CFN，

∵∠A＝∠CNF＝90°，

∴△AED∽△NFC，

∴