Question

Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，BO=4，分別以OA，OB邊所在的直線建立平面直角坐標系，D點為x軸正半軸上的一點，以OD為一邊在第一象限內做等邊△ODE．
（1）如圖（1），當E點恰好落在線段AB上，求E點坐標；
（2）在（1）問的條件下，將△ODE在線段OB上向右平移如圖，圖中是否存在一條與線段OO′始終相等的線段？如果存在，請指出這條線段，并加以證明；如果不存在，請說明理由；
（3）若點D從原點出發沿x軸正方向移動，設點D到原點的距離為x，△ODE與△AOB重疊部分的面積為y，請直接寫出y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意作輔助線，作EH⊥OB于點H，由BO=4，求得OE，然后求出OH，EH，從而得出點E的坐標；
（2）假設存在，由OO′=4-2-DB，而DF=DB，從而得到OO′=EF；
（3）根據題意分三種情況寫出解析式即可．

解答：解：（1）作EH⊥OB于點H，
∵△OED是等邊三角形，
∴∠EOD=60°．
又∵∠ABO=30°，
∴∠OEB=90°．
∵BO=4，
∴OE=

1

2

OB=2．
∵△OEH是直角三角形，且∠OEH=30°
∴OH=1，EH=

3

．
∴E（1，

3

）．

（2）存在線段EF=OO'．
∵∠ABO=30°，∠EDO=60°
∴∠ABO=∠DFB=30°，
∴DF=DB．
∴OO′=4-2-DB=2-DB=2-DF=ED-FD=EF

（3）所求函數關系式為：
當0＜x≤2時，△ODE與△AOB重疊部分的面積為△ODE面積，
當2＜x＜4時，△ODE與△AOB重疊部分的面積為四邊形GO′DF面積，
當x≥4時，△ODE與△AOB重疊部分的面積為定值，
y=

3 4 x2(0＜x≤2) - 3 4 x2+2 3 x-2 3 (2＜x＜4) 2 3 (x≥4)

．

點評：考查利用三角函數求線段長度，動點問題是中考的重點內容，此題難度較大．