Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過A（﹣3，0）、B（5，0）、C（0，5）三點，O為坐標原點

（1）求此拋物線的解析式；
（2）若把拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移 個單位長度，再向右平移n（n＞0）個單位長度得到新拋物線，若新拋物線的頂點M在△ABC內，求n的取值范圍；
（3）設點P在y軸上，且滿足∠OPA+∠OCA=∠CBA，求CP的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A、B、C三點的坐標代入函數解析式可得

，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+ x+5

（2）

解：∵y=﹣ x2+ x+5，

∴拋物線頂點坐標為（1， ），

∴當拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移 個單位長度，再向右平移n（n＞0）個單位長度后，得到的新拋物線的頂點M坐標為（1+n，1），

設直線BC解析式為y=kx+m，把B、C兩點坐標代入可得 ，解得 ，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+5，

令y=1，代入可得1=﹣x+5，解得x=4，

∵新拋物線的頂點M在△ABC內，

∴1+n＜4，且n＞0，解得0＜n＜3，

即n的取值范圍為0＜n＜3；

（3）

解：當點P在y軸負半軸上時，如圖1，過P作PD⊥AC，交AC的延長線于點D，

由題意可知OB=OC=5，

∴∠CBA=45°，

∴∠PAD=∠OPA+∠OCA=∠CBA=45°，

∴AD=PD，

在Rt△OAC中，OA=3，OC=5，可求得AC= ，

設PD=AD=m，則CD=AC+AD= +m，

∵∠ACO=∠PCD，∠COA=∠PDC，

∴△COA∽△CDP，

∴ ，即 ，

由 可求得m= ，

∴ ，解得PC=17；

可求得PO=PC﹣OC=17﹣5=12，

如圖2，在y軸正半軸上截取OP′=OP=12，連接AP′，

則∠OP′A=∠OPA，

∴∠OP′A+∠OCA=∠OPA+∠OCA=∠CBA，

∴P′也滿足題目條件，此時P′C=OP′﹣OC=12﹣5=7，

綜上可知PC的長為7或17

【解析】（1）根據A、B、C三點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線的解析式；（2）可先求得拋物線的頂點坐標，再利用坐標平移，可得平移后的坐標為（1+n，1），再由B、C兩點的坐標可求得直線BC的解析式，可求得y=1時，對應的x的值，從而可求得n的取值范圍；（3）當點P在y軸負半軸上時，過P作PD⊥AC，交AC的延長線于點D，根據條件可知∠PAD=45°，設PD=DA=m，由△COA∽△CDP，可求出m和PC的長，此時可求得PO=12，利用等腰三角形的性質，可知當P點在y軸正半軸上時，則有OP=12，從而可求得PC=5．本題主要考查二次函數的綜合應用，涉及到的知識點有待定系數法、坐標的平移、三角形的外角、等腰三角形的性質、相似三角形的判定和性質以及分類討論等．在（2）中確定出M點向右平移的最大位置是解題的關鍵，在（3）中利用∠OPA+∠OCA=∠CBA=45°構造三角形相似是解題的關鍵．本題目考查知識點多，綜合性強，特別是第（3）問難度很大．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．