Question

【題目】已知，如圖，二次函數的圖象與軸交于，兩點，與軸交于點，且經過點

(1)求該拋物線的解析式，頂點坐標和對稱軸；

(2)在拋物線上是否存在一點，使的面積與的面積相等(點不與點重合)？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）該二次函數的解析式是y=-x2+4x+5，頂點坐標是（2，9），對稱軸是x=2；（2）存在，D點坐標為（4,5）或或.

【解析】

（1）直接利用待定系數法將已知點代入得出方程組求解，即可求得b和c的值，可得二次函數解析式，再將解析式化為頂點式即可得函數的頂點坐標和對稱軸；

（2）△ABC和△ABD的底都是AB，所以它們的面積若相等，高就要相等，由圖可知此時D點和C點到x軸距離要相等，即，由此可得函數解析式.

解：（1）∵二次函數y=-x2+bx+c的圖象經過點（0，5）、B（1，8），

∴將（0，5）、B（1，8）代入到y=-x2+bx+c中得

解這個方程組，得

∴該二次函數的解析式是y=-x2+4x+5，
∵y=-x2+4x+5= -（x-2）2+9，
∴頂點坐標是（2，9），對稱軸是x=2；
（3）存在，

∵△ABC和△ABD的底都是AB，

∴若S△ABC=S△ABD，D點距離x軸的距離與C點距離x軸距離相等

∴D點的縱坐標為5或-5，

當y=5時，，解得（舍），，此時D坐標為（4,5）；

當y=-5時，，解得，

此時點D坐標為或

故D點坐標為（4,5）或或.