Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖像與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其頂點為P，連接PA、AC、CP，過點C作y軸的垂線l．已知頂點P的坐標為（-3，-4），線段PC之長為3

(1)求二次函數解析式。

(2)M為直線l上一點，且以M,C,O為頂點的三角形與以A,C,O為頂點的三角形相似，請直接寫出點M的坐標。

(3)直線l上是否存在點D，使△PBD的面積等于△PAC的面積的3倍？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） ；（2） ；(3) 存在，

【解析】

（1）利用勾股定理求出C點坐標，然后將拋物線解析式寫成頂點式，再化為一般式；（2）求出A,B兩點的坐標，根據題意可知△ACO和△MCO均為直角三角形

，然后分情況討論兩個兩個三角形相似列出比例式，從而求解（3）待定系數法求直線PC的解析式為y=3x+5，設直線交x軸于E，則E（，0），設直線PQ交x軸于F，當BD=3AF時，△PBD的面積等于△PAC的面積的3倍，分兩種情形分別求解即可解決問題．

解：（1）過點P作PH⊥y軸

∵頂點P的坐標為（-3，-4）

∴PH=3，OH=4

設OC=x

在Rt△PCH中，

∴

解得：（負值舍去）

∴點C的坐標為（0,5）

設函數解析式

將（0,5）代入，

解得：a=1

∴函數解析式為

（2）在中，當y=0時

解得：

所以A（-1,0）；B(-5,0)

點M在直線l上

由題意可知△ACO和△MCO均為直角三角形

設M（x,5）

∴當時，兩個三角形相似

∴

解得：

當時，兩個三角形相似

∴

解得：

∴點M的坐標為或或或

（3）設直線PC的解析式為y=kx+b，

則有

解得

∴直線PC的解析式y=3x+5，

設直線交x軸于E，則E（，0），

設直線PD交x軸于F，當BF=3AE時，△PBD的面積等于△PAC的面積的3倍，

∵A(-1,0)，B(-5,0)

∴AE=，

∴BF=2

∴F（-3，0）或F'（-7，0）

當F（-3，0）時，直線PF垂直于x軸，

∴D（-3，5）

當F'（-7，0）時，直線PF'的解析式為y=-x-7，

∴D'（-12，5）．

綜上所述，滿足條件的點D（-3，5），D'（-12，5）．