Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，BD為⊙O的切線，過點B的弦BC⊥OD交⊙O于點C，垂足為M．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）當BC=BD，且BD=6cm時，求圖中陰影部分的面積（結果不取近似值）．

Answer 1

分析：（1）連接OC，證明∠OCD=90°．根據垂徑定理得OD垂直平分BC，所以DB=DC．從而△OBD≌△OCD，得∠OCD=∠OBD=90°；
（2）陰影面積=S_扇形OBC-S_△OBC．根據切線長定理知△BCD為等邊三角形，可求∠BOC的度數，運用相關公式計算．

解答：（1）證明：連接OC．
∵OD⊥BC，O為圓心，
∴OD平分BC．
∴DB=DC，
在△OBD與△OCD中，

OB=OC DO=DO DB=DC

∴△OBD≌△OCD．（SSS）
∴∠OCD=∠OBD．
又∵AB為⊙O的直徑，BD為⊙O的切線，
∴∠OCD=∠OBD=90°，
∴CD是⊙O的切線；

（2）解：∵DB、DC為切線，B、C為切點，
∴DB=DC．
又DB=BC=6，
∴△BCD為等邊三角形．
∴∠BOC=360°-90°-90°-60°=120°，
∠OBM=90°-60°=30°，BM=3．
∴OM=BM•tan30°=

3

，OB=2OM=2

3

．
∴S_陰影部分=S_扇形OBC-S_△OBC
=

120×π×(2 3 ) 2

360

-

1

2

×6×

3

=4π-3

3

（cm²）．

點評：此題考查了切線的判定及性質、切線長定理、有關圖形的面積計算等知識點，難度中等．