Question

【題目】請閱讀以下材料，并解決問題：

配方法是數學中重要的一種思想方法. 它是指將一個式子或一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法. 這種方法常被用到代數恒等變形中，并結合非負數的意義來解決一些問題.

（例1）把二次三項式進行配方.

解：-4.

（例2）已知，求和的值.

解：由已知得：

，

即，

所以，

所以.

（1）若可配方成 （為常數），求和的值；

（2）已知實數滿足，求的最大值；

（3）已知為正實數，且滿足和，試判斷以為三邊的長的三角形的形狀，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）以，，為三邊的長的三角形是等腰直角三角形，理由詳見解析.

【解析】

（1）把配方后，與比較即可；

（2）把變形為，再把右邊配方，即可求出的最大值；

（3）把因式分解可得三角形是以，，a+b為三邊的長的等腰三角形；把所給兩個式子相加可得以三角形是以，，a+b為三邊的長的直角三角形，從而可判定三角形是以，，a+b為三邊的長的等腰直角三角形.

（1）因為.

所以，.

（2）解法一：

由可得：

.

.

因為，所以，

即當時，的最大值為.

解法二：

由可得：

，

移項，得

.

因為，所以，

即當時，的最大值為.

（3）以，，a+b為三邊的長的三角形是等腰直角三角形，理由如下：

由可得：

，

，

，

因為，，都為正數，

所以，，

所以，即以，，a+b為三邊的長的三角形是等腰三角形，

………①

………②

由①②得：

，

，

.

即以，，a+b為三邊的長的三角形是直角三角形，

所以以，，a+b為三邊的長的三角形是等腰直角三角形.