Question

【題目】(2016湖南省岳陽市第24題)如圖①，直線y=x+4交于x軸于點A，交y軸于點C，過A、C兩點的拋物線F1交x軸于另一點B（1，0）．

（1）求拋物線F1所表示的二次函數的表達式；

（2）若點M是拋物線F1位于第二象限圖象上的一點，設四邊形MAOC和△BOC的面積分別為S四邊形MAOC和S△BOC，記S=S四邊形MAOC﹣S△BOC，求S最大時點M的坐標及S的最大值；

（3）如圖②，將拋物線F1沿y軸翻折并“復制”得到拋物線F2，點A、B與（2）中所求的點M的對應點分別為A′、B′、M′，過點M′作M′E⊥x軸于點E，交直線A′C于點D，在x軸上是否存在點P，使得以A′、D、P為頂點的三角形與△AB′C相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)、y=﹣x2﹣x+4；(2)、最大值為；M（﹣，5）；(3)、（2，0）或（﹣，0）

【解析】

試題分析：(1)、利用一次函數的解析式求出點A、C的坐標，然后再利用B點坐標即可求出二次函數的解析式；(2)、由于M在拋物線F1上，所以可設M（a，﹣a2﹣a+4），然后分別計算S四邊形MAOC和S△BOC，過點M作MD⊥x軸于點D，則S四邊形MAOC的值等于△ADM的面積與梯形DOCM的面積之和；(3)、由于沒有說明點P的具體位置，所以需要將點P的位置進行分類討論，當點P在A′的右邊時，此情況是不存在；當點P在A′的左邊時，此時∠DA′P=∠CAB′，若以A′、D、P為頂點的三角形與△AB′C相似，則分為以下兩種情況進行討論：①=；②=．

試題解析：(1)、令y=0代入y=x+4， ∴x=﹣3， A（﹣3，0），

令x=0，代入y=x+4， ∴y=4， ∴C（0，4），

設拋物線F1的解析式為：y=a（x+3）（x﹣1），

把C（0，4）代入上式得，a=﹣， ∴y=﹣x2﹣x+4，

(2)、如圖①，設點M（a，﹣a2﹣a+4） 其中﹣3＜a＜0 ∵B（1，0），C（0，4）， ∴OB=1，OC=4

∴S△BOC=OBOC=2， 過點M作MD⊥x軸于點D， ∴MD=﹣a2﹣a+4，AD=a+3，OD=﹣a，

∴S四邊形MAOC=ADMD+（MD+OC）OD=ADMD+ODMD+ODOC=+=+

=×3（﹣a2﹣a+4）+×4×（﹣a）=﹣2a2﹣6a+6

∴S=S四邊形MAOC﹣S△BOC=（﹣2a2﹣6a+6）﹣2=﹣2a2﹣6a+4=﹣2（a+）2+

∴當a=﹣時， S有最大值，最大值為 此時，M（﹣，5）；

(3)、如圖②，由題意知：M′（），B′（﹣1，0），A′（3，0） ∴AB′=2

設直線A′C的解析式為：y=kx+b， 把A′（3，0）和C（0，4）代入y=kx+b，得：，∴

∴y=﹣x+4， 令x=代入y=﹣x+4， ∴y=2 ∴

由勾股定理分別可求得：AC=5，DA′= 設P（m，0）

當m＜3時， 此時點P在A′的左邊， ∴∠DA′P=∠CAB′， 當=時，△DA′P∽△CAB′，

此時， =（3﹣m）， 解得：m=2， ∴P（2，0）

當=時，△DA′P∽△B′AC， 此時， =（3﹣m） m=﹣， ∴P（﹣，0）

當m＞3時， 此時，點P在A′右邊， 由于∠CB′O≠∠DA′E， ∴∠AB′C≠∠DA′P

∴此情況，△DA′P與△B′AC不能相似，

綜上所述，當以A′、D、P為頂點的三角形與△AB′C相似時，點P的坐標為（2，0）或（﹣，0）．