Question

【題目】如圖，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm．P，Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A出發沿A→B方向運動，速度為每秒1cm，到達點B停止運動；點Q從點B出發沿B→C→A方向運動，速度為每秒2cm，到達點A停止運動．它們同時出發，設出發時間為t秒．

（1）當t=________秒時，PQ∥AC；

（2）設△PQB的面積為S，求S關于t的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；

（3）當點Q在邊CA上運動時，直接寫出能使△BCQ為等腰三角形的t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S=-t2+8t（0<t≤3）或S=（3<t<8）；（3）當t為5.5，6或6.6時，△BCQ為等腰三角形．

【解析】

（1）根據平行的性質，在三角形中，根據相似三角形的性質，即可得到答案；

（2）根據題意，由t的范圍分別計算函數解析式即可；

（3）根據等腰三角形的性質，討論t的值即可．

解：（1）如圖，當PQ∥AC時，△BQP∽△BCA，

∴，即，

解得：t=，

故答案為：；

（2）解：當0<t≤3時，如圖所示：

BQ=2t，BP=8-t，

則S=BP·BQ

=×(8-t) ×2t

=-t2+8t，

當3<t<8時，如圖所示，過點Q作QH⊥AH于點H，

HQ=(16-2t)，

∴S=BP·HQ

=

=；

（3）當t為5.5，6或6.6時，△BCQ為等腰三角形，

①當CQ=BQ時，如圖所示：

則∠C=∠CBQ，

∵∠ABC=90°，

∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，

∴∠A=∠ABQ，

∴BQ=AQ，

∴CQ=AQ=5，

∴BC+CQ=11，

∴t=11÷2=5.5

②當CQ=BC時，如圖所示：

則BC+CQ=12，

∴t=12÷2=6

③當BC=BQ時，如圖所示、過點B作BE⊥AC于點E，

則BE= =4.8，

∴CE= =3.6，

∴CQ=2CE=7.2，

∴BC+CQ=13.2，

∴t=13.2÷2=6.6，

綜上，當t為5.5，6或6.6時，△BCQ為等腰三角形．