Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC為一邊向外作等邊三角形ACD，點E為AB的中點，連結DE．

（1）證明DE∥CB；
（2）探索AC與AB滿足怎樣的數量關系時，四邊形DCBE是平行四邊形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結CE．

∵點E為Rt△ACB的斜邊AB的中點，

∴CE= AB=AE．

∵△ACD是等邊三角形，

∴AD=CD．

在△ADE與△CDE中， ，

∴△ADE≌△CDE（SSS），

∴∠ADE=∠CDE=30°．

∵∠DCB=150°，

∴∠EDC+∠DCB=180°．

∴DE∥CB．

（2）解：當AC= AB或AB=2AC時，四邊形DCBE是平行四邊形，

理由：∵AC= AB，∠ACB=90°，

∴∠B=30°，

∵∠DCB=150°，

∴∠DCB+∠B=180°，

∴DC∥BE，又∵DE∥BC，

∴四邊形DCBE是平行四邊形．

【解析】（1）首先連接CE，根據直角三角形的性質可得CE= AB=AE，再根據等邊三角形的性質可得AD=CD，然后證明△ADE≌△CDE，進而得到∠ADE=∠CDE=30°，再有∠DCB=150°可證明DE∥CB；（2）當AC= AB或AB=2AC時，四邊形DCBE是平行四邊形．根據（1）中所求得出DC∥BE，進而得到四邊形DCBE是平行四邊形．
【考點精析】本題主要考查了等邊三角形的性質和平行四邊形的判定的相關知識點，需要掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形才能正確解答此題．