Question

【題目】如圖，直線y=kx+b與x軸、y軸分別交于點A，B，且OA，OB的長（OA＞OB）是方程x2-10x+24=0的兩個根，P（m，n）是第一象限內直線y=kx+b上的一個動點（點P不與點A，B重合）．

(1)求直線AB的解析式．

(2)C是x軸上一點，且OC=2，求△ACP的面積S與m之間的函數關系式；

(3)在x軸上是否有在點Q，使以A，B，Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=-x+4；（2）S=-m+16或S=-m+8(0＜m＜6)；（3）存在，(6+2，0)或(6-2，0)或(-6，0)或(，0)

【解析】

（1）x2-10x+24=0，解得：x=4或6，故點A、B的坐標分別為：（6，0）、（0，4），把點A、B的坐標代入一次函數表達式，即可求解；
（2）設點P（m，-m+4），當點C在x正半軸時，OC=2，AC=4，S=×4×（-m+4）=-m+8；當點C在x軸負半軸時，同理可得：S=-m+16；
（3）分AB=AQ、AB=BQ、AQ=BQ三種情況，分別求解即可．

解：(1)x2-10x+24=0，解得：x=4或6，故點A、B的坐標分別為：(6，0)、(0，4)，

把點A、B的坐標代入一次函數表達式：y=kx+b得：，解得：，

故直線AB的表達式為：y=-x+4；

(2)設點P(m，-m+4)，當點C在x正半軸時，OC=2，AC=4， S=×4×(-m+4)=-m+8；

當點C在x軸負半軸時，同理可得：S=-m+16，

故S=-m+16或S=-m+8(0＜m＜6)；

(3)設點Q(s，0)，

則AB2=52，AQ2=(6-s)2，BQ2=s2+16，

①當AB=AQ時，52=(6-s)2，解得：s=6±2；

②當AB=BQ時，同理可得：s=±6(舍去6)；

③當AQ=BQ時，同理可得：s=，

綜上，點Q的坐標為：(6+2，0)或(6-2，0)或(-6，0)或(，0)．