Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交線段BC，AC于點D，E，過點D作DF⊥AC，垂足為F，線段FD，AB的延長線相交于點G．

（1）求證：DF是⊙O的切線；

（2）若CF=1，DF=，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連接AD、OD，由AB為直徑可得出點D為BC的中點，由此得出OD為△BAC的中位線，再根據中位線的性質即可得出OD⊥DF，從而證出DF是⊙O的切線；

（2）CF=1，DF=，通過解直角三角形得出CD=2、∠C=60°，從而得出△ABC為等邊三角形，再利用分割圖形求面積法即可得出陰影部分的面積．

試題解析：（1）證明：連接AD、OD，如圖所示．

∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AC=AB，∴點D為線段BC的中點．

∵點O為AB的中點，∴OD為△BAC的中位線，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切線．

（2）解：在Rt△CFD中，CF=1，DF=，∴tan∠C==，CD=2，∴∠C=60°，∵AC=AB，∴△ABC為等邊三角形，∴AB=4．∵OD∥AC，∴∠DOG=∠BAC=60°，∴DG=ODtan∠DOG=，∴S陰影=S△ODG﹣S扇形OBD=DGOD﹣=．