Question

【題目】如圖，在菱形中，對角線、交于點，已知，.

（1）求的長；

（2）點為直線上的一個動點，連接，將線段繞點順時針旋轉的角度后得到對應的線段（即），交于點.

①當為的中點時，求的長；

②連接、，當的長度最小時，求的面積.

Answer 1

【答案】（1）;（2）①;②14.

【解析】

（1）由菱形的性質得出AD=AB=BC=CD=5，AC⊥BD，OA=OC= AC=，OB=OD，由勾股定理求出OB，即可得出BD的長；

（2）①過點C作CH⊥AD于H，由菱形的性質和三角函數得出，求出AH=2，由勾股定理求出CH=4，求出HE=AE-AH=，再由勾股定理求出EC，證明△BCD∽△ECF，得出，即可得出結果；

②先證明△BCE≌△DCF，得出BE=DF，當BE最小時，DF就最小，且BE⊥DE時，BE最小，此時∠EBC=∠FDC=90°，BE=DF=4，△EBC的面積=△ABC的面積=△DCF的面積，則四邊形ACFD的面積=2△ABC的面積=20，過點F作FH⊥AD于H，過點C作CP⊥AD于P，則∠CPD=90°，證明△PCD∽△HDF，得出，求出HF=，S△ADF=ADFH=6，即可得出△ACF的面積．

解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=AB=BC=CD=5，AC⊥BD，OA=OC=AC=，OB=OD，

在Rt△ABO中，由勾股定理得：OB===2，

∴BD=2OB=4；

（2）①過點C作CH⊥AD于H，如圖1所示：

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠BAC=∠DAC，

∴cos∠BAC=cos∠DAC，

∴，即，

∴AH=2，

∴CH=== 4，

∵E為AD的中點，

∴AE=AD=，

∴HE=AE-AH=，

在Rt△CHE中，由勾股定理得：EC===，

由旋轉的性質得：∠ECF=∠BCD，CF=CE，

∴，

∴△BCD∽△ECF，

∴，即

解得：EF=2；

②如圖2所示：

∵∠BCD=∠ECF，

∴∠BCD-DCE=∠ECF-∠DCE，即∠BCE=∠DCF，

在△BCE和△DCF中，

，

∴△BCE≌△DCF（SAS），

∴BE=DF，

當BE最小時，DF就最小，且BE⊥DE時，BE最小，

此時∠EBC=∠FDC=90°，BE=DF=4，△EBC的面積=△ABC的面積=△DCF的面積，則四邊形ACFD的面積=2△ABC的面積=5×4=20，

過點F作FH⊥AD于H，過點C作CP⊥AD于P，

則∠CPD=90°，

∴∠PCD+∠PDC=90°，

∵∠FDC=90°，

∴∠PDC+∠HDF=90°，

∴∠PCD=∠HDF，

∴△PCD∽△HDF，

∴，

∴HF=4×=，

∴S△ADF=ADHF=×5×=6，

∴S△ACF=S四邊形ACFD-S△ADF=20-6=14，

即當DF的長度最小時，△ACF的面積為14．