Question

已知拋物線y＝－x²＋mx－m＋2．  

（Ⅰ）若拋物線與x軸的兩個交點A、B分別在原點的兩側，并且AB＝，試求m的值；

（Ⅱ）設C為拋物線與y軸的交點，若拋物線上存在關于原點對稱的兩點M、N，并且 △MNC的面積等于27，試求m的值

 

Answer 1

 

（Ⅰ）1

（Ⅱ）-7

解析:解： (I)設點Ａ（x₁，0），B(x₂，0)．

則x₁ ，x₂是方程 x²－mx＋m－2＝0的兩根．

∵x₁ ＋ x₂ ＝m ，　x₁·x₂ =m－2 ＜0 即m＜2；

又AB＝∣x_1－ x₂∣＝，∴m²－4m＋3=0  ．                                                           

解得：m=1或m=3(舍去) ，

∴m的值為1．

（II）設M(a，b)，則N(－a，－b)．

∵M、N是拋物線上的兩點，

∴ 

①＋②得：－2a²－2m＋4＝0．

∴a²＝－m＋2．

∴當m＜2時，才存在滿足條件中的兩點M、N．

∴．

這時M、N到y軸的距離均為，

又點C坐標為（0，2－m），而S_{△M N C} = 27 ，

∴2××（2－m）×=27．

∴解得m=－7