Question

如圖，已知拋物線y＝－x²＋bx＋c與x軸負半軸交于點A，與y軸正半軸交于點B，且OA＝OB．

1.求b＋c的值

2.若點C在拋物線上，且四邊形OABC是平行四邊形，試求拋物線的解析式；

3.在（2）的條件下，作∠OBC的角平分線，與拋物線交于點P，求點P的坐標．

 

Answer 1

【答案】

 

1.因為拋物線y＝－x²＋bx＋c與y軸正半軸交于點B，所以點B的坐標為（0，c）．…… 1分

因為OA＝OB，所以點A的坐標為（－c，0）．…… 2分

將點A（－c，0）代入y＝－x²＋bx＋c，得－c²＋bc＋c＝0．

因為c≠0，整理，得b＋c＝1．…… 4分

2.如果四邊形OABC是平行四邊形，那么BC//AO，BC＝AO．

因此點C的坐標可以表示為（c，c）．…… 5分

當點C（c，c）落在拋物線y＝－x²＋bx＋c上時，得－c²＋bc＋c＝c．

整理，得b＝c．…… 6分

結合第（1）題的結論b＋c＝1，得．…… 7分

此時拋物線的解析式為．…… 8分

3.過點P作PM⊥y軸，垂足為M．

因為BP平分∠CBO，所以△BPM是等腰直角三角形．9分

設點P的坐標為，

由BM＝PM，列方程．…… 10分

解得或（舍去）．…… 11分

所以，點P的坐標為．…… 12分

【解析】（1）因為拋物線y＝－x²＋bx＋c與y軸正半軸交于點B，所以點B的坐標為（0，c）．點A的坐標為（－c，0）．代入y＝－x²＋bx＋c，求得b＋c的值

（2）根據四邊形OABC是平行四邊形，得出點C的坐標可以表示為（c，c）進行解答

（3）過點P作PM⊥y軸，垂足為M．證得△BPM是等腰直角三角形