Question

【題目】在平面直角坐標系中，函數y＝ax2﹣2ax﹣4a（x≥0）的圖象記為M1，函數y＝﹣ax2﹣2ax+4a（x＜0）的圖象記為M2，其中a為常數，且a≠0，圖象M1，M2合起來得到的圖象記為M．

（1）當圖象M1的最低點到x軸距離為3時，求a的值．

（2）當a＝1時，若點（m，）在圖象M上，求m的值，

（3）點P、Q的坐標分別為（﹣5，﹣1），（4，﹣1），連結PQ．直接寫出線段PQ與圖象M恰有3個交點時a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）或a=.

【解析】

（1）因為提到“最低點”，所以函數圖象M1對應的拋物線開口向上，a＞0，令頂點縱坐標＝3即求出a的值．

（2）把點在圖象M1或圖象M2進行分類討論，把a＝1和y＝代入解析式即求出m的值．

（3）把a＞0時圖象M的大致草圖畫出，根據圖象觀察和計算說明線段PQ所在位置對交點個數的影響，得到a的范圍，同理可計算a＜0時的情況．

解：（1）∵y＝ax22ax4a＝a（x1）25a，且圖象M1的最低點到x軸距離為3

∴a＞0，

∴|5a|＝3，即5a＝3

∴a＝；

（2）當a＝1時，點（m，）在圖象M上，

①若點在圖象M1上，即m≥0，m22m4＝，

解得：m1＝，m2＝（舍去）；

②若點在圖象M2上，即m＜0，m22m＋4＝，

解得：m3＝（舍去），m4＝，

綜上所述，m的值為或；

（3）若a＞0，則圖象M的大致形狀如圖1，

若線段PQ經過圖象M1的頂點（1，5a）

則5a＝1，得a＝，

對于圖象M2，時，

解得：(舍去)，，

∵，

∴直線PQ與圖象M2的交點在點P的右側

∴線段PQ與圖象M2有一個交點，與M有兩個交點，

而M1與y軸的交點為（0，-4a），

∴當5a＜-1≤-4a時，線段PQ與圖象M有三個交點，

解得：；

同理當a＜0時，

同理可得,而當a=即上圖情況是，線段PQ的交點恰好為Q點，此時有三個交點，而時，圖像線段PQ的交點只有個，右側沒有交點，所以a=,

故線段PQ與圖象M恰有3個交點時a的取值范圍是：或a=.