Question

二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A（x₂，0）和B（x₁，0）兩點，A點在原點左方，B點在原點右方，與y軸交于C（0，y₁），且知C點在原點上方，y₁＞x₁，BC=10，x₁，y₁是方程x²-（k+9）x+3（k+11）=0的兩根，直線y=mx+n過A、C兩點，且tan∠CAB=4．
（1）求：A、B、C三點的坐標；
（2）求：過A、C兩點的一次函數的解析式；
（3）求：過A、B、C三點的二次函數的解析式．

Answer 1

解：（1）∵x₁，y₁是原方程的兩根，
∴，
又∵BC=10，
∴x₁²+y₁²=10²
即：（x₁+y₁）²-2x₁y₁=100，
∴（k+9）²-2×3（k+11）=100
即：k²+12k-85=0
∴k₁=5，k₂=-17
當k=5時，∴，
解得：或
但∵y₁＞x₁
∴取
當k=-17時，x₁+y₁=-17+9＜0
當∵x₁＞0，y₁＞0
∴此時無解．
故：B（6，0），C（0，8），
∵tan∠CAB=4，即=4，
∴|x₂|=2?x₂=-2或2
但∵x₂＜0，
∴只取x₂=-2
故：A（-2，0）．
（2）∵直線y=mx+n過A、C兩點
∴，
解得：
故；過A、C兩點的一次函數的解析式為：y=4x+8．
（3）∵A（-2，0），B（6，0）兩點在此二次函數上，
∴可設此函數為：y=a（x+2）（x-6）
又∵C（0，8）在此二次函數上，
∴8=a（0+2）（0-6）?a=-
∴可設此函數為：y=-（x+2）（x-6）
即：y=-x²+x+．
分析：（1）由于x₁，y₁是方程x²-（k+9）x+3（k+11）=0的兩根，根據韋達定理可得出x₁+y₁=k+9，x₁y₁=3（k+11），根據BC=10，即x₁²+y₁²=100，聯立三式即可求出k的值，也就能求出x₁，y₁的值．得出B，C的坐標后，根據tan∠CAB=4即可求出A點的坐標．
（2）已知了A、C的坐標，可用待定系數法求出直線AC的解析式．
（3）可根據A、B、C三點的坐標用待定系數法求解．
點評：本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系、用待定系數法求一次函數和二次函數的解析式等知識點，根據韋達定理和BC的長求出B、C的坐標是解題的關鍵．