Question

如果二次函數y=ax²+bx+c的圖象的頂點坐標是（2，4），且直線y=x+4依次與y軸和拋物線相交于P、Q、R三點，PQ：QR=1：3，求這個二次函數解析式．

Answer 1

分析：根據二次函數y=ax²+bx+c的圖象的頂點坐標是（2，4），利用頂點法設該二次函數解析式為y=a（x-2）²+4．根據直線y=x+4依次與y軸和拋物線相交于P、Q、R三點，則可確定P點的坐標，并設Q、R點的坐標為（x₁，y₁）和（x₂，y₂）．根據兩點間的距離公式與PQ：QR=1：3求得|x₂|與|x₁|的比值．直線y=x+4與拋物線相交于Q、R兩點列出方程a（x-2）²+4=x+4，利用一元二次方程根與系數的關系，得到

x1•x2=4  x1+x2= 4a+1 a

，求出x₁、x₂、a的值．因此拋物線即可確定．

解答：解：∵圖象的頂點坐標是（2，4），
∴所以設y=a（x-2）²+4      ①，
P點的坐標是（0，4），設Q、R點的坐標為（x₁，y₁）和（x₂，y₂），
則y₁=x₁+4，y₂=x₂+4，
∴|PQ|=

(x1-0)2+(y1-4)2

=

x12+x12

=

2

|x1|，
|PR|=

(x2-0)2+(y2-4)2

=

2

|x2|，
∵PQ：QR=1：3且P在QR之處，
∴PQ：PR=PQ：（PQ+QR）=1：4，即

2

|x1|：

2

|x2|=1：4，
∴|x₂|=4|x₁|②，
又x₁，x₂是拋物線與直線交點的橫坐標，
∴a（x-2）²+4=x+4，即ax²-4（4a+1）x+4a=0，
∴a(x2-

4a+1

a

x+4)=0，
由韋達定理，得

x1•x2=4                   ③ x1+x2= 4a+1 a      ④

，
由③得，x₁、x₂同號，再由②得      x₂=4x₁，
∴x₁=±1，x₂=±4，從④得a=1或a=-

1

9

，
∴y=x²-4x+8或y=-

1

9

x2+

4

9

x+

32

9

，
答：這個二次函數解析式y=x²-4x+8或y=-

1

9

x2+

4

9

x+

32

9

．

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和相似三角形的性質、一元二次方程根與系數的關系．主要考查學生數形結合的數學思想方法．