Question

【題目】如圖，在平行四邊形中，，垂足為點，將平行四邊形折疊，使點落在點的位置，點落在點的位置，折痕為.

（1）求證：；

（2）若，求的度數；

（3）連接，求證：四邊形是矩形.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）60°（3）見解析

【解析】

（1）根據折疊的性質，得到∠A=∠G，AD=DG，再根據軸對稱的性質即可得到AE=FG，進而運用SAS判定△ADE≌△GDF；

（2）根據BD=AB，可得sinA=，進而得到∠A=30°，再根據DF=CF=FG，即可得到∠FDG=∠DGF=∠A=30°，即可得出∠CFG=∠FDG+∠DGF=60°；

（3）連接CG，根據BC=DG，BC∥DG，可得四邊形BCGD是平行四邊形，再根據∠CBD=90°，即可得到四邊形BCGD是矩形．

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∠A=∠C，

由折疊可知，BC=DG，CF=FG，∠G=∠C，EF垂直平分BD，

∴∠A=∠G，AD=DG，

又∵AD⊥BD，

∴EF∥AD∥BC，

∴點E、F分別平分AB、CD，

∴AE=BE=AB=CD=CF=DF，

∴AE=FG，

∴△ADE≌△GDF；

（2）∵AE=BD，AE=BE=AB，

∴BD=AB，

∴sinA=，

∴∠A=30°，

∵DF=CF=FG，

∴∠FDG=∠DGF=∠A=30°，

∴∠CFG=∠FDG+∠DGF=60°；

（3）如圖，連接CG．

由折疊可知，BC=DG，BC∥DG，

∴四邊形BCGD是平行四邊形，

∵AD⊥BD，AD∥BC，

∴BC⊥BD，

∴∠CBD=90°，

∴四邊形BCGD是矩形．