Question

【題目】如圖，一次函數y=2x+4的圖象與x，y軸分別相交于點A，B，以AB為邊作正方形ABCD（點D落在第四象限）．

（1）求點A，B，D的坐標；

（2）聯結OC，設正方形的邊CD與x相交于點E，點M在x軸上，如果△ADE與△COM全等，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）A（-2，0），B（0，4），D（2，-2）；（2）M（5，0）．

【解析】

(1)由于一次函數y=2x+4的圖象與x、y軸分別交于點A、B，所以利用函數解析式即可求出A、B兩點的坐標，然后作DF⊥x軸于點F，由四邊形ABCD是正方形可以得到∠BAD=∠AOB=∠AFD=90，AB=AD，接著證明△BAO≌△ADF，最后利用全等三角形的性質可以得到DF=AO=2，AF=BO=4，從而求出點D的坐標；

(2) 過點C作CG⊥y軸于G，連接OC，作CM⊥OC交x軸于M，用求點D的方法求得點C的坐標為（4，2），得出OC=2，由A、B的坐標得到AB=2，從而OC=AB=AD，根據△ADE與△COM全等，利用全等三角形的性質可知OM=AE，即OA=EM=2，利用C、D的坐標求出直線CD的解析式，得出點E的坐標，根據EM=2，即可求出點M的坐標.

解：（1）∵一次函數y=2x+4的圖象與x，y軸分別相交于點A，B，

∴A（-2，0），B（0，4），

∴OA=2，OB=4，

如圖1，過點D作DF⊥x軸于F，

∴∠DAF+∠ADF=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠BAD=90°，

∴∠DAF+∠BAO=90°，

∴∠ADF=∠BAO，

在△ADF和△BAO中，，

∴△ADF≌△BAO（AAS），

∴DF=OA=2，AF=OB=4，

∴OF=AF-OA=2，

∵點D落在第四象限，

∴D（2，-2）；

（2）如圖2，過點C作CG⊥y軸于G，連接OC，作CM⊥OC交x軸于M，

同（1）求點D的方法得，C（4，2），

∴OC==2，

∵A（-2，0），B（0，4），

∴AB=2，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=AB=2=OC，

∵△ADE與△COM全等，且點M在x軸上，

∴△ADE≌△OCM，

∴OM=AE，

∵OM=OE+EM，AE=OE+OA，

∴EM=OA=2，

∵C（4，2），D（2，-2），

∴直線CD的解析式為y=2x-6，

令y=0，

∴2x-6=0，

∴x=3，

∴E（3，0），

∴OM=5，

∴M（5，0）．

故答案為：(1)A(-2，0)，B(0，4)，D(2，-2)；(2)M(5，0).