Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于兩點(diǎn)，為頂點(diǎn)，為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)不重合)

求該拋物線的解析式；

當(dāng)點(diǎn)在直線的下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的面積的最大值；

該拋物線上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或

【解析】

（1）將點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；

（2）利用S△PBC＝PG（xCxB），即可求解；

（3）分點(diǎn)P在直線BC下方、上方兩種情況，分別求解即可．

解：拋物線過(guò)兩點(diǎn)

可設(shè)為

又過(guò)點(diǎn)

解析式為；

，

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b

把B,C坐標(biāo)代入得

解得

可得直線的解析式為：

過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)

設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為

，．

當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為；

存在．

∵=

∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，

連接

則

是直角三角形，且．

當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，

設(shè)的中點(diǎn)為

則，

且點(diǎn)為直線與拋物線的交點(diǎn)(不與點(diǎn)重合)

設(shè)直線的表達(dá)式為y=px+q

把B,H的坐標(biāo)代入得

解得

∴直線的表達(dá)式為

令，

解得(舍去)或

此時(shí)的坐標(biāo)為

當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，．

設(shè)直線CD的解析式為y=mx+n

把C,D的坐標(biāo)代入得

解得

∴直線的表達(dá)式為，

則可設(shè)直線的表達(dá)式為

將點(diǎn)代入解得

故直線的表達(dá)式為．

令，

解得或

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為

綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．