Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線G：與軸交于點C，拋物線G的頂點為D，直線：．

（1）當時，直接寫出直線被拋物線G截得的線段長；

（2）隨著取值的變化，判斷點C，D是否都在直線上；

（3）若直線被被拋物線G截得的線段長不小于，結合函數圖像，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點D，C始終在直線上；（3）或．

【解析】

（1）當m=1時，拋物線G的函數表達式為y=x2+2x，直線的函數表達式為y=x，求兩函數的交點，即可求出拋物線G截得的線段的長；
（2）先求出C、D兩點的坐標，再代入直線的解析式進行檢驗即可；
（3）先聯立直線與拋物線的解析式，求出它們的交點坐標，再根據這兩個交點之間的距離不小于2列出不等式，求解即可．

（1）當m=1時，拋物線G的函數表達式為y=x2+2x，直線的函數表達式為y=x，

聯立得，解得或．

所以兩函數的交點坐標為：和，

∴直線被拋物線G截得的線段長為；

（2）無論m取何值，點C，D都在直線上．理由如下：
∵拋物線G：y=mx2+2mx+m-1（m≠0）與y軸交于點C，
∴點C的坐標為C（0，m-1），
∵y=mx2+2mx+m-1=m（x+1）2-1，
∴拋物線G的頂點D的坐標為（-1，-1），
對于直線：y=mx+m-1（m≠0），
當x=0時，y=m-1，
當x=-1時，y=m·(-1)+m-1=-1，
∴無論m取何值，點C，D都在直線上；

（3）解方程組，

得，或，

∴直線與拋物線G的交點為（0，m-1），（-1，-1）．
∵直線被拋物線G截得的線段長不小于，

∴，

，

，

∴或．