Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點A（，0）和點B（1，），與x軸的另一個交點為C．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）點D在對稱軸的右側，x軸上方的拋物線上，且∠BDA=∠DAC，求點D的坐標；
（3）在（2）的條件下，連接BD，交拋物線對稱軸于點E，連接AE．
①判斷四邊形OAEB的形狀，并說明理由；
②點F是OB的中點，點M是直線BD的一個動點，且點M與點B不重合，當∠BMF=∠MFO時，請直接寫出線段BM的長．

Answer 1

（1）。
（2）D（4，）。
（3）①四邊形OAEB是平行四邊形。理由如見解析
②線段BM的長為或。

試題分析：（1）根據點在曲線上點的坐標滿足方程的關系，利用待定系數法求出拋物線的函數表達式。
（2）由∠BDA=∠DAC，可知BD∥x軸，點B與點D縱坐標相同，解一元二次方程求出點D的坐標。
（3）①由BE與OA平行且相等，可判定四邊形OAEB為平行四邊形。
②點M在點B的左右兩側均有可能，需要分類討論：
∵O（0，0），B（1，），F為OB的中點，∴F（，）。
過點F作FN⊥直線BD于點N，則FN=﹣=，BN=1﹣=。
在Rt△BNF中，由勾股定理得：。
∵∠BMF=∠MFO，∠MFO=∠FBM+∠BMF，∴∠FBM=2∠BMF。
（I）當點M位于點B右側時．
在直線BD上點B左側取一點G，使BG=BF=，連接FG，則GN=BG﹣BN=1，
在Rt△FNG中，由勾股定理得：。

∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG。
又∵∠FBM=∠BGF+∠BFG=2∠BMF，
∴∠BFG=∠BMF。
又∵∠MGF=∠MGF，∴△GFB∽△GMF。
∴，即。
∴BM=。
（II）當點M位于點B左側時，
設BD與y軸交于點K，連接FK，則FK為Rt△KOB斜邊上的中線，
∴KF=OB=FB=。∴∠FKB=∠FBM=2∠BMF。
又∵∠FKB=∠BMF+∠MFK，∴∠BMF=∠MFK。∴MK=KF=。
∴BM=MK+BK=+1=。
綜上所述，線段BM的長為或。