Question

【題目】如圖①，直線PQ同側有兩點M，N，點T在直線PQ上，若∠MTP＝∠NTQ，則稱點T為M，N在直線PQ上的投射點．

（1）如圖②，在Rt△ABC中，∠B＝60°，D為斜邊AB的中點，E為AC的中點．求證：點D為C，E在直線AB上的投射點；

（2）如圖③，在正方形網格中，已知點A，B，C三點均在格點上，請僅用沒有刻度的直尺在AC上畫出點P，在BC上畫出點Q，使A，P在BC上的投射點Q滿足CQ＝2BQ；

（3）如圖④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，在AB，BC邊上是否分別存在點D，E，使點D為E，C在AB上的投射點，點E為A，D在BC上的投射點？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）畫圖見解析；（3）存在，．

【解析】

（1）先求出∠BDC＝60°，進而判斷出∠ADE＝∠B＝60°，即可得出結論；

（2）根據對稱性即可作出圖形；

（3）根據對稱和相似作出圖形，再用相似三角形的性質即可得出結論．

（1）∵在Rt△ABC中，D為斜邊AB的中點，

∴CD＝BD＝BC，

又∵∠B＝60°，

∴∠BDC＝60°，

∵D，E分別為AB，AC的中點，

∴DE∥AC，

∴∠ADE＝∠B＝60°，

∴∠ADE＝∠BDC，

∴點D為C，E在直線AB上的投射點；

（2）如圖③，

作法：

1、在格點上取點G，H，連接HG交BC于Q，（理由：△BQG∽△HQC）

2、作點A關于BC的對稱點A'，連接A'Q并延長交AC于P，（∠AQB＝∠A'QB＝∠PQC）

即：點P就是所求作的點；

（3）存在，

如圖④，作點C關于AB的對稱點C′，連接BC'，AC'，

則四邊形ACBC′為正方形，

作點A關于BC的對稱點A′，連接A'C'交AB于D，交BC于E，

即：點D，E是所求作的點，

∴C′，D，E，A在同一直線上，

CA′＝CA＝C′A＝C′B＝BC，CD＝C′D，

∴△C′BE≌△A′CE，

∴BE＝BC＝C′A，

∵AC′∥BC，

∴△BDE∽△ADC′，

∴，

∴．