Question

【題目】如圖，在矩形OABC中，點O為原點，點A的坐標為（0，8），點C的坐標為（6，0）．拋物線經過點A、C，與AB交于點D．

（1）求拋物線的函數解析式；

（2）點P為線段BC上一個動點（不與點C重合），點Q為線段AC上一個動點，AQ=CP，連接PQ，設CP=m，△CPQ的面積為S．

①求S關于m的函數表達式；

②當S最大時，在拋物線的對稱軸l上，若存在點F，使△DFQ為直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②（，4），（，8），（，）或（，）．

【解析】

試題分析：（1）將A、C兩點坐標代入拋物線，即可求得拋物線的解析式；

（2）①先用m表示出QE的長度，進而求出三角形的面積S關于m的函數；

②直接寫出滿足條件的F點的坐標即可，注意不要漏寫．

試題解析：（1）將A、C兩點坐標代入拋物線，得

，解得：，∴拋物線的解析式為；

（2）①∵OA=8，OC=6，∴AC==10，過點Q作QE⊥BC與E點，則sin∠ACB=，∴，∴QE=，∴S=CPQE=m×=；

②∵S=CPQE=m×==，∴當m=5時，S取最大值；

在拋物線對稱軸l上存在點F，使△FDQ為直角三角形，∵拋物線的解析式為的對稱軸為x=，D的坐標為（3，8），Q（3，4）；

當∠FDQ=90°時，F1（，8）；

當∠FQD=90°時，則F2（，4）；

當∠DFQ=90°時，設F（，n），則，即，解得：n=，∴F3（，），F4（，），滿足條件的點F共有四個，坐標分別為

F1（，8），F2（，4），F3（，），F4（，）．