Question

8．已知：P是正方形ABCD對角線AC上一點，PE⊥AB，PF⊥BC，E、F分別為垂足，求證：DP=EF．

Answer 1

分析 連結PB，由正方形的性質得到BC=DC，∠BCP=∠DCP，接下來證明△CBP≌△CDP，于是得到DP=BP，然后證明四邊形BFPE是矩形，由矩形的對角線相等可得到BP=EF，從而等量代換可證得問題的答案．

解答 證明：連結PB．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°．
∵在△CBP和△CDP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCP=∠DCP}\\{PC=PC}\end{array}\right.$，
∴△CBP≌△CDP．
∴DP=BP．
∵PE⊥AB，PF⊥BC，∠B=90°
∴四邊形BFPE是矩形．
∴BP=EF．
∴DP=EF．

點評 本題主要考查的是正方形的性質、全等三角形的性質和判定、矩形的性質和判定，證得四邊形BFPE為矩形是解題的關鍵．