Question

【題目】如圖，已知在矩形ABCD中，BC=2CD=2a，點E在邊CD上，在矩形ABCD的左側作矩形ECGF，使CG=2GF=2b，連接BD，CF，連結AF交BD于點H．

（1）求證：BD∥CF；
（2）求證：H是AF的中點；
（3）連結CH，若HC⊥BD，求a：b的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD、四邊形ECGF均為矩形，

∴∠G=∠DCB=90°．

∵BC=2CD=2a，CG=2GF=2b，

∴ ．

∴△FGC∽△DCB．

∴∠FCG=∠DBC．

∴BD∥CF．

（2）解：如圖1所示：連接AC，交BD于點O．

∵四邊形ABCD為矩形，

∴OC=OA．

又∵FC∥BD，

∴HF=AH．

∴點H是AF的中點．

（3）解：如圖2所示：連接CH，CA，AC與BD交于點O．

由勾股定理可知：FC= b，AC= a．

∵四邊形ABCD為矩形，

∴DB=AC= a，CO= AC= ．

∵HO是△AFC的中位線，

∴HO= FC= ．

∵ ，

∴CH= ．

在△COH中，由勾股定理可知：HO2+CH2=OC2，即（ ）2+（ ）2=（ ）2．

整理得：a2= ．

∴a：b= ．

【解析】（1）根據矩形的性質得出∠G=∠DCB，再根據已知BC=2CD=2a，CG=2GF=2b，得出兩邊對應成比例，因此可證明△FGC∽△DCB．得出對應角相等，即可證得結論。
（2）連接AC，交BD于點O．根據矩形的性質得出OC=OA．再根據平行線等分線段定理，即可得出結論。
（3）連接CH，CA，AC與BD交于點O．由勾股定理求出FC、AC的長，再根據矩形的對角線相等且互相平分，求得CO的長，然后根據三角形的中位線定理求出HO的長，又由直角三角形的兩個面積公式得出CH的長，在△COH中，由勾股定理可求得a：b的值。
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和三角形中位線定理的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半才能正確解答此題．