Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在BC和CD上，AE=AF．

（1）求證：BE=DF

（2）連接AC交EF于點D，延長OC至點M，使OM=OA，連結EM、FM，試證明四邊形AEMF是菱形．

Answer 1

【答案】（1）、證明過程見解析；（2）、證明過程見解析

【解析】

試題分析：（1）、根據正方形的性質可得AB=AD，∠B=∠D=90°，然后利用“HL”證明Rt△ABE和Rt△ADF全等，根據全等三角形對應邊相等可得BE=DF；（2）、求出CE=CF，然后利用“邊邊邊”證明△AEC和△AFC全等，根據全等三角形對應角相等可得∠EAC=∠FAC，再根據等腰三角形三線合一的性質可得AC垂直平分EF，根據線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得EM=FM，再判斷出EF垂直平分AM，根據線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得AE=EM，然后根據四條邊都相等的四邊形是菱形證明．

試題解析：（1）、在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°， 在Rt△ABE和Rt△ADF中，，

∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE=DF；

（2）、∵BC=CD，BE=DF， ∴BC﹣BE=CD﹣CF， 即CE=CF，

在△AEC和△AFC中，， ∴△AEC≌△AFC（SSS）， ∴∠EAC=∠FAC，

又∵AE=AF， ∴AC垂直平分EF， ∴EM=FM， ∵OM=OA， ∴EF垂直平分AM，

∴AE=EM， ∴AE=EM=FM=AF， ∴四邊形AEMF是菱形．