Question

【題目】閱讀材料：等腰三角形具有性質“等邊對等角”．事實上，不等邊三角形也具有類似性質“大邊對大角”：如圖1．在△ABC中，如果AB＞AC，那么∠ACB＞∠ABC．證明如下：將AB沿△ABC的角平分線AD翻折（如圖2），因為AB＞AC，所以點B落在AC的延長線上的點B'處．于是，由∠ACB＞∠B'，∠ABC=∠B'，可得∠ACB＞∠ABC．

（1）靈活運用：從上面的證法可以看出，折紙常常能為證明一個命題提供思路和方法．由此小明想到可用類似方法證明“大角對大邊”：如圖3．在△ABC中，如果∠ACB＞∠ABC，那么AB＞AC．小明的思路是：沿BC的垂直平分線翻折……請你幫助小明完成后面的證明過程．

（2）拓展延伸：請運用上述方法或結論解決如下問題：

如圖4，已知M為正方形ABCD的邊CD上一點（不含端點），連接AM并延長，交BC的延長線于點N．求證：AM＋AN＞2BD．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）設BC的中垂線交BC于點E，交AB于點D，連接DC，結合中垂線的性質定理與三角形三邊長的關系，即可得到結論；

（2）延長DC到點E，使得CE=CN，連接AE交BC于點F．易證△ACE≌△CAN，得AE=AN．過點C作PQ⊥AC，分別交AN、AE于點P、Q，結合“三角形中，大角對大邊”，得AP＋AQ＞2AC，QE＞CQ，PC＞PM，進而得QE＞PM，即AM＋AN＞AP＋AQ，然后即可得到結論．

（1）設BC的中垂線交BC于點E，交AB于點D，連接DC．

將∠B沿BC的中垂線DE翻折（如圖3），使點B落在點C處．

∵∠ACB＞∠ABC，

∴CD在△ABC的內部，

∵DE為BC的中垂線，

∴DB=DC．

∵在△ADC中，AD＋DC＞AC，

∴AD＋DB＞AC．即AB＞AC；

（2）如圖4，延長DC到點E，使得CE=CN，連接AE交BC于點F．

∵∠ACE=∠ACN=135°，CE=CN，AC=AC，

∴△ACE≌△ACN（SAS），

∴AE=AN．

過點C作PQ⊥AC，分別交AN、AE于點P、Q．

∵∠ACP=∠ACQ=90°，

∴AP＞AC，AQ＞AC，

∴AP＋AQ＞2AC．

∵∠ACD＞∠E，∠ACD=45°，∠QCE=135°-90°=45°，

∴∠QCE＞∠E，

∴QE＞CQ．

同理可得：PC＞PM．

∵△ACE≌△ACN，

∴∠CAN=∠CAE，

又∵AC=AC，∠ACP=∠ACQ=90°，

∴△ACP≌△ACQ（ASA），

∴PC=CQ，

∴QE＞PM，

∴AM＋AN=AM＋AE=AM＋AQ＋QE＞AM＋AQ＋PM=AP＋AQ．

又∵AP＋AQ＞2AC，

∴AM＋AN＞2AC．

∵正方形ABCD中，AC=BD，

∴AM＋AN＞2BD．