Question

如圖，矩形OABC的邊OA、OC都在坐標軸上，頂點B的坐標為（4，3），動點P從O點出發在線段OA上以每秒2個單位長度的速度向終點A運動，點D在對角線AC上，且AD=2，設運動時間為t秒．
（1）請寫出△APD的面積S關于t的函數關系式______，此時t的取值范圍是______．
（2）若在動點P從O點出發的同時，有一動點Q從A點出發，在線段AC上以每秒1個單位長度的速度向點C運動，動點P停止時，點Q也隨之停止，請問在運動過程中，當t為何值時，CP⊥PQ？
（3）在點P的運動過程中，是否存在以A、D、P為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請求出此時t的值和對應的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）過點D作DE⊥OA，交OA于點E，
∵點B（4，3），四邊形ABCD是矩形，
∴OA=BC=4，AB=OC=3，
∴點A（4，0），點C（0，3），
∴AC=

OA2+OC2

=

42+32

=5，
∵DE⊥OA，
∴DE∥OC，
∴

DE

AD

=

OC

AB

，
∵AD=2，
∴

DE

2

=

3

5

，
解得DE=

6

5

，
∵P的速度是每秒2個單位長度，
∴OP=2t，
∴AP=OA-OP=4-2t，
∴S_△APD=

1

2

AP•DE=

1

2

×（4-2t）×

6

5

=-

6

5

t+

12

5

，
∵AC=4，
∴

1

2

AC=2，
∴t的取值范圍是0≤t≤2；

（2）如圖，過點Q作QF⊥OA于點F，
∵CP⊥PQ，
∴∠CPQ=90°，
∴∠QPA+∠CPO=90°，
∵∠CPO+∠OCP=90°，
∴∠QPA=∠OCP，
∴△COP∽△PQF，
∴

OP

OC

=

QF

PF

，
∵Q的速度是每秒1個單位長度，
∴AQ=t，
∴QF=AQ•sin∠OAC=t•

3

5

=

3

5

t，
AF=AQ•cos∠OAC=t•

4

5

=

4

5

t，
∴PF=OA-OP-AF=4-2t-

4

5

t=4-

14

5

t，
故

2t

3

=

3 5 t

4- 14 5 t

，
解得t=

31

28

，
當t=

31

28

秒時，CP⊥PQ；


（3）存在三種情況，使△PDA為等腰三角形．
①AD=AP時，∵AD=2，AD=AP，
∴AP=2，
∴OP=OA-AP=4-2=2，
∴

OP

2

=

2

2

=1（秒），
∴當t=1秒時，△PDA是等腰三角形；
②AD=PD時，底邊為AP，
∵AD=PD，DE⊥OA，
∴AE=PE，
∵DE∥OC，
∴

AE

AD

=

OA

AC

，
∴

AE

2

=

4

5

，
解得AE=

8

5

，
∴AP=2AE=

16

5

，
∴OP=OA-AP=4-

16

5

=

4

5

，
∴

1

2

OP=

1

2

×

4

5

=

2

5

，
即當t=

2

5

秒時，△PDA是等腰三角形；
③AP=PD時，底邊為AD，
過點P作PF⊥AD，
∵AP=PD，
∴AF=DF=

1

2

AD=

1

2

×2=1，
∵EF⊥AD，∠CAO=∠DAE，
∴△APF∽△ACO，
∴

AP

AF

=

AC

BC

，
∴

AP

1

=

5

4

，
解得AP=

5

4

，
∴OP=OA-AP=4-

5

4

=

11

4

，
∴

1

2

OP=

1

2

×

11

4

=

11

8

，
即當t=

11

8

秒時，△PDA是等腰三角形．