Question

【題目】已知：都是的直徑，都是的弦，于點，．

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，延長交于點，求證：；

（3）如圖3，在（2）的條件下，延長，交于點，若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）要證明AH⊥CF，只要證明 即可，根據垂徑定理和∠AOF=∠BOC，即可證明結論成立；

（2）要證明PH=PD，只要證明PA=PC即可，根據AH=CD，即可得到，進而得到，然后即可得到結論成立；

（3）要求AP的長，需要作AK⊥QH于點K，再根據∠Q=45°，CQ=2和全等三角形的判定與性質、三角形的相似、勾股定理即可求得AP的長．

（1）證明：∵AH=CD，

∴，

∵AB是直徑，CD⊥AB，

∴，

∵∠AOF=∠BOC，

∴==，

∴AH⊥CF；

（2）證明：連接AC，如圖2所示，

∵AH=CD，

∴,

∴,

∴,

∴∠PCA=∠PAC，

∴PC=PA，

又∵CD=AH，

∴PD=PH，

即PH=PD；

（3）過點A作AK⊥QH于點K，連接DH，如圖3所示，

∵四邊形ACDH內接于⊙O，

∴∠PAC=∠PDH，

由（2）知，∠PAC=∠PCA，

∴∠PDH=∠PCA，

∴DH∥AC，

∴∠CQE=∠DHE，

∵∠CEQ=∠DHE，CE=DE，

∴△CQE≌△DHE（AAS），

∴EQ=EH，CQ=DH=2，

∵∠Q=45°，AK⊥QH，

∴∠Q=∠QAK=45°，

∴AK=QK，

∵∠CEQ+∠AEK=180°-∠AEC=90°，∠AEK+EAK=90°，

∴∠EAK=CEQ=∠PCA-∠Q=∠PAC-∠QAK=∠HAK，

∵∠AKE=∠AKH=90°，AK=AK，∠EAK=∠HAK，

∴△EAK≌△HAK（ASA），

∴EK=HK，AE=AH=CD，

設EK=x，則EH=EQ=2x，

解得，x=，

∴AC=10，AH=，

∵DH∥AC，∴△PDH∽△PCA，

解得，PA=，

即AP的長為．