Question

【題目】已知⊙O為△ABC的外接圓，圓心O在AB上． SA'>”不對，理由為：根據規則：每一題搶答對得10分，搶答錯扣20分，搶答不到不得分也不扣分．

（1）在圖1中，用尺規作圖作∠BAC的平分線AD交⊙O于D（保留作圖痕跡，不寫作法與證明）；
（2）如圖2，設∠BAC的平分線AD交BC于E，⊙O半徑為5，AC=4，連接OD交BC于F．①求證：OD⊥BC；②求EF的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：尺規作圖如圖1所示：

（2）

解：①如圖2，∵AD平分∠BAC，

∴∠DAC=∠BAD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠D，

∴∠CAD=∠D，

∴AC∥OD，

∴∠ACB=∠OFB，

∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠OFB=90°，

∴OD⊥BC；

②∵AC∥OD，

∴，即，

∴OF=2，

∵FD=5﹣2=3，

在RT△OFB中，BF=，

∵OD⊥BC，

∴CF=BF=，

∵AC∥OD，

∴△EFD∽△ECA，

∴，

∴，

∴EF=CF=×=．

【解析】（1）按照作角平分線的方法作出即可；
（2）①先求得AC∥OD，然后根據圓周角定理求得∠ACB=90°，即可證得；②根據勾股定理求得BF，即CF的長，然后根據平行線分線段成比例定理求得，即可求得，繼而求得EF的長．
【考點精析】掌握勾股定理的概念和圓周角定理是解答本題的根本，需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．