Question

【題目】如圖，將Rt△ABO放在平面直角坐標系中，點A、B分別在y軸、x軸上，∠BAO＝30°，BC是∠ABO的角平分線，交y軸于點C（0，﹣2），CD⊥AB，垂足為D

（1）求BC的長度．

（2）點P（0，n）是線段AO上的任意一點（點P不與A、C、O重合），以BP為邊，在BD的下方畫出∠BPE＝60°，PE交CD的延長線于點E，在備用圖中畫出圖形，并求CE的長（用含n的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）BC＝4；（2） EC＝2﹣n．

【解析】

（1）根據已知條件可知OC=2, Rt△BOC中，∠OBC＝∠DBC＝30°，BC＝2OC即可得出答案；（2）分兩種情況，當點P在線段OC上時，在BC上取一點F，使得PF＝PC。證明△PCF是等邊三角形，得出∠PCE＝∠PFB＝120°，然后證明△EPC≌△BPF，得到CE＝FB，再根據P點的坐標知道0P=-n,，PC=CF=2-(-n)=2+n,CE=BF=BC-CF計算即可；當點P在線段AC上時，在BC的延長線上取一點G，使得PG＝CP，同理可證. △PCG是等邊三角形, △EPC≌△BPG,可得出CE＝GB＝BC+CF，再代入n計算即可.

（1）∵點C（0，﹣2），

∴OC＝2，

在Rt△ABO中，∵∠BAO＝30°，BC是∠ABO的平分線，∠BOC＝90°，

∴∠OBC＝∠DBC＝30°，

∴BC＝2OC＝4．

（2）∵P（0，n），

∴OP＝﹣n，

①如圖1中，當點P在線段OC上時，在BC上取一點F，使得PF＝PC．

∵∠BOC＝90°，CD⊥AB，∠OBC＝∠DBC＝30°，

∴∠BCO＝∠BCE＝60°，

∵PF＝CF，

∴△PCF是等邊三角形，

∴∠PFC＝∠FPC＝60°，PC＝CF，

∴∠BCO+∠BCE＝180°﹣∠PFC，即∠PCE＝∠PFB＝120°，

∵∠FPC＝∠BPE＝60°，

∴∠EPC＝∠BPF，

∴△EPC≌△BPF（ASA），

∴CE＝FB，

∵OP＝﹣n，

∴CF＝PC＝OC﹣OP＝2+n，

∴CE＝FB＝BC﹣CF＝4﹣（2+n）＝2﹣n．

②當點P在線段AC上時，在BC的延長線上取一點G，使得PG＝CP．

∵∠BCO＝∠BCE＝60°，

∴∠PCG＝∠BCO＝60°，∠PCE＝∠180°﹣60°﹣60°＝60°，

∵PG＝CP，

∴△PCG是等邊三角形，

∴∠PGC＝∠GPC＝60°，PC＝CG，即∠PCE＝∠PGB，

∵∠BPE＝∠GPC＝60°，

∴∠EPC＝∠BPG，

∴△EPC≌△BPG（ASA），

∴CE＝GB，

∵OP＝﹣n，

∴CG＝PC＝OP﹣OC＝﹣n﹣2，

∴CE＝GB＝BC+CF＝4+（﹣n﹣2）＝2﹣n，

綜上所述，EC＝2﹣n．