Question

【題目】如圖，AB是的直徑，點C、D在上，且AD平分，過點D作AC的垂線，與AC的延長線相交于E，與AB的延長線相交于點F，G為AB的下半圓弧的中點，DG交AB于H，連接DB、GB．

證明EF是的切線；

求證：；

已知圓的半徑，，求GH的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

（1）由題意可證OD∥AE，且EF⊥AE，可得EF⊥OD，即EF是⊙O的切線；（2）由同弧所對的圓周角相等，可得∠DAB＝∠DGB，由余角的性質(zhì)可得∠DGB＝∠BDF；（3）由題意可得∠BOG＝90°，根據(jù)勾股定理可求GH的長．

解：（1）證明：連接OD，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA

又∵AD平分∠BAC，

∴∠OAD＝∠CAD

∴∠ODA＝∠CAD，

∴OD∥AE，

又∵EF⊥AE，

∴OD⊥EF，

∴EF是⊙O的切線

（2）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°

∴∠DAB+∠OBD＝90°

由（1）得，EF是⊙O的切線，

∴∠ODF＝90°

∴∠BDF+∠ODB＝90°

∵OD＝OB，

∴∠ODB＝∠OBD

∴∠DAB＝∠BDF

又∠DAB＝∠DGB

∴∠DGB＝∠BDF

（3）連接OG，

∵G是半圓弧中點，

∴∠BOG＝90°

在Rt△OGH中，OG＝5，OH＝OB﹣BH＝5﹣3＝2．

∴GH＝＝.