Question

【題目】問題探究

（1）如圖1，△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點B，D，E在同一直線上，連接AD，BD．

①請探究AD與BD之間的位置關系：________；

②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，則線段AD的長為________；

拓展延伸

（2）如圖2，△ABC和△DEC均為直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．將△DCE繞點C在平面內順時針旋轉，設旋轉角∠BCD為α（0°≤α＜360°），作直線BD，連接AD，當點B，D，E在同一直線上時，畫出圖形，并求線段AD的長．

Answer 1

【答案】（1）①垂直，②4；（2）作圖見解析，或

【解析】

（1）①由“SAS”可證△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC=45°，可得AD⊥BD；

②過點C作CF⊥AD于點F，由勾股定理可求DF，CF，AF的長，即可求AD的長；

（2）分點D在BC左側和BC右側兩種情況討論，根據勾股定理和相似三角形的性質可求解．

解：（1）∵△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，

∴AC=BC，CE=CD，∠ABC=∠DEC=45°=∠CDE

∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACD=∠BCE，且AC=BC，CE=CD

∴△ACD≌△BCE（SAS）

∴∠ADC=∠BEC=45°

∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°

∴AD⊥BD

故答案為：垂直

②如圖，過點C作CF⊥AD于點F，

∵∠ADC=45°，CF⊥AD，CD=

∴DF=CF=1

∴

∴AD=AF+DF=4

故答案為：4．

（2）①如圖：

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1，

∴AB=2,DE=2,∠ACD＝∠BCE, ．

∴△ACD∽△BCE．

∴∠ADC＝∠E，．

又∵∠CDE+∠E=90°，

∴∠ADC+∠CDE =90°，即∠ADE=90°．

∴AD⊥BE．

設BE=x，則AD=x．

在Rt△ABD中，，

即．

解得（負值舍去）．

∴AD=．

②如圖，

同①設BE=x，則AD=x．

在Rt△ABD中，，即．

解得（負值舍去）．

∴AD=．

綜上可得，線段AD的長為