Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點M在⊙O上，∠M=∠D．

（1）判斷BC、MD的位置關系，并說明理由；
（2）若AE=16，BE=4，求線段CD的長；
（3）若MD恰好經過圓心O，求∠D的度數．

Answer 1

【答案】
（1）解：BC∥MD．

理由：∵∠M=∠D，∠M=∠C，∠D=∠CBM，

∴∠M=∠D=∠C=∠CBM，

∴BC∥MD；

（2）解：∵AE=16，BE=4，

∴OB= =10，

∴OE=10﹣4=6，

連接OC，

∵CD⊥AB，

∴CE= CD，

在Rt△OCE中，

∵OE2+CE2=OC2，即62+CE2=102，解得CE=8，

∴CD=2CE=16；

（3）解：如圖2，

∵∠M= ∠BOD，∠M=∠D，

∴∠D= ∠BOD，

∵AB⊥CD，

∴∠D= ×90°=30°．

【解析】（1）根據圓周角定理可得出∠M=∠D=∠C=∠CBM，由此即可得出結論；（2）先根據AE=16，BE=4得出OB的長，進而得出OE的長，連接OC，根據勾股定理得出CE的長，進而得出結論；（3）根據題意畫出圖形，根據圓周角定理可知，∠M= ∠BOD，由∠M=∠D可知∠D= ∠BOD，故可得出∠D的度數．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用勾股定理的概念和垂徑定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．