Question

【題目】如圖，矩形紙片ABCD（AD＞AB）中，將它折疊，使點A與點C重合，折痕EF交AD于點E，交BC于點F，交AC于點O，連結AF，CE.

（1）求證：四邊形AFCE是菱形；

（2）若AE＝8，△ABF的面積為9，求AB＋BF的值.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)10.

【解析】

（1）當頂點A與C重合時，折痕EF垂直平分AC，由OA=OC，得∠AOE=∠COF=90°，由題意得AD∥BC，∠EAO=∠FCO，可證明△AOE≌△COF，從而得出∴四邊形AFCE是菱形．

（2）根據四邊形AFCE是菱形，得出AF=AE=8，在Rt△ABF中，利用勾股定理得AB2+BF2=AF2，AB2+BF2=82，即可得出（AB+BF）2-2ABBF=64①，根據△ABF的面積為9，可求得ABBF=18②，再由①、②得：（AB+BF）2=100，得出AB+BF=10．

（1）證明：當頂點A與C重合時，折痕EF垂直平分AC，

∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，

∵在矩形ABCD中，AD∥BC，

∴∠EAO=∠FCO，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴OE=OF，

∴四邊形AFCE是平行四邊形,

又∵EA=EC

∴平行四邊形AFCE是菱形.

（2）∵四邊形AFCE是菱形，

∴AF=AE=8，在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，

∴AB2+BF2=64，∴（AB+BF）2-2AB·BF=64①，

∵△ABF的面積為9，

∴AB·BF=9，

∴AB·BF=18②，

由①、②得：（AB+BF）2=100，

∵AB+BF＞0，

∴AB+BF=10.