Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，M為BC邊上的中點(diǎn)，D是射線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以CD為一邊且在CD的下方作等邊△CDE，連接BE．

（1）填空：若D與M重合時(shí)（如圖1）∠CBE=度；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段AM上時(shí)（點(diǎn)D不與A、M重合），請(qǐng)判斷（1）中結(jié)論是否成立？并說明理由；
（3）在（1）的條件下，若AB=6，試求CE的長．

Answer 1

【答案】
（1）30
（2）解：（1）中結(jié)論成立．理由如下：

如圖2．

∵△ABC和△CDE均為等邊三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE=60°，

∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD與△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE，

∴∠CAD=∠CBE，

∵在等邊△ABC中，M是BC中點(diǎn)．

∴∠CAD= ∠BAC=30°，

∴∠CBE=30°

（3）解：如圖1．

∵在等邊△ABC中，AB=6，

∴BC=AB=6．

∵在等邊△ABC中，M為BC邊上的中點(diǎn)，D與M重合，

∴CD=BD= BC=3，

∵△CDE是等邊三角形，

∴CE=CD=3．

【解析】解：（1）如圖1．
∵在等邊△ABC中，M為BC邊上的中點(diǎn)，D與M重合，
∴BD=CD，
∵△CDE是等邊三角形，
∴∠CDE=60°，CD=DE，
∴BD=DE，
∴∠BED=∠DBE，
又∵∠BED+∠DBE=∠CDE=60°，
∴∠DBE=30°，即∠CBE=30°；
所以答案是30；

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°才能正確解答此題．