Question

【題目】如圖，拋物線 與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A（﹣1，0）．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo)；
（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；
（3）點M是拋物線對稱軸上的一個動點，當(dāng)CM+AM的值最小時，求M的坐標(biāo)；
（4）在線段BC下方的拋物線上有一動點P，求△PBC面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（﹣1，0）代入 得到：0= ×（﹣1）2﹣b﹣2，

解得b=﹣ ，

則該拋物線的解析式為：y= x2﹣ x﹣2．

又∵y= x2﹣ x﹣2= （x﹣ ）2﹣ ，

∴頂點D的坐標(biāo)是（ ，﹣ ）

（2）

解：由（1）知，該拋物線的解析式為：y= x2﹣ x﹣2．則C（0，﹣2）．

又∵y= x2﹣ x﹣2= （x+1）（x﹣4），

∴A（﹣1，0），B（4，0），

∴AC= ，BC=2 ，AB=5，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形

（3）

解：由（2）知，B（4，0），C（0，﹣2），

由拋物線的性質(zhì)可知：點A和B關(guān)于對稱軸對稱，如答圖1所示：

∴AM=BM，

∴AM+CM=BM+CM≥BC=2 ．

∴CM+AM的最小值是2

（4）

解：如答圖2，過點P作y軸的平行線交BC于F．

設(shè)直線BC的解析式為y=kx﹣2（k≠0）．

把B（4，0）代入，得

0=4k﹣2，

解得k= ．

故直線BC的解析式為：y= x﹣2．

故設(shè)P（m， m2﹣ m﹣2），則F（m， m﹣2），

∴S△PBC= PFOB= ×（ m﹣2﹣ m2+ m+2）×4=﹣（m﹣2）2+4，即S△PBC=﹣（m﹣2）2+4，

∴當(dāng)m=2時，△PBC面積的最大值是4．

【解析】（1）把點A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式來求b的值；然后把函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點式，即可得到點D的坐標(biāo)；（2）由兩點間的距離公式分別求出AC，BC，AB的長，再根據(jù)勾股定理即可判斷出△ABC的形狀；（3）根據(jù)拋物線的對稱性可知AM=BM．所以AM+CM=BM+CM≥BC=2 ；（4）過點P作y軸的平行線交BC于F．利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，可求得點F的坐標(biāo)，設(shè)P點的橫坐標(biāo)為m，可得點P的縱坐標(biāo)，繼而可得線段PF的長，然后利用面積和即S△PBC=S△CPF+S△BPF= PF×BO，即可求出．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點，以及對二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．