Question

【題目】如圖，直線y=kx+8（k＜0）交y軸于點A，交x軸于點B．將△AOB關于直線AB翻折得到△APB．過點A作AC∥x軸交線段BP于點C，在AC上取點D，且點D在點C的右側，連結BD．

（1）求證：AC=BC

（2）若AC=10．

①求直線AB的表達式．

②若△BCD是以BC為腰的等腰三角形，求AD的長．

（3）若BD平分∠OBP的外角，記△APC面積為S1，△BCD面積為S2，且=，則的值為______（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①y=-x+8；②20或22；（3）.

【解析】

（1）由平行線的性質可得出∠BAC=∠ABO，由折疊的性質可知∠ABO=∠ABC，進而可得出∠BAC=∠ABC，由等角對等邊即可證出AC=BC；

（2）過點B作BE⊥CD于點E．①利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出OA的長度，進而可得出BE的長度，在Rt△BCE中，利用勾股定理可求出CE的長度，進而可得出OB，AE的長度，由OB的長度可得出點B的坐標，再利用待定系數法即可求出直線AB的表達式；

②分BC=DC及BC=BD兩種情況考慮：當BC=DC時，由AC=BC=10，可求出AD的長度；當BC=BD時，利用等腰三角形的性質結合①的結論可求出CD的長度，進而可得出AD的長度．綜上，此問得解；

（3）由折疊的性質結合三角形的面積公式可得出，設PC=2a，則CD=3a，易證△APC≌△BEC（AAS），由全等三角形的性質可得出CE=CP=2a，由角平分線的定義、平行線的性質結合等腰三角形的性質可得出CB=CD=AC=3a，在Rt△BCE中，CE=2a，進而可得出OB=5a，AD=6a，二者相比后即可得出的值．

（1）證明：∵AC∥x軸，

∴∠BAC=∠ABO．

由折疊的性質，可知：∠ABO=∠ABC，

∴∠BAC=∠ABC，

∴AC=BC．

（2）解：過點B作BE⊥CD于點E，如圖1所示．

①當x=0時，y=kx+8=8，

∴點A的坐標為（0，8），BE=OA=8．

在Rt△BCE中，BC=AC=10，BE=8，

∴CE==6，

∴OB=AE=AC+CE=16，

∴點B的坐標為（16，0）．

將點B（16，0）代入y=kx+8，得：0=16k+8，

解得：k=-，

∴直線AB的表達式為y=-x+8．

②當BC=DC時，AD=AC+CD=10+10=20；

當BC=BD時，由①可知：CD=2CE=12，

∴AD=AC+CD=10+12=22．

綜上：AD的長為20或22．

（3）由折疊的性質，可知：AO=AP，∠APC=∠AOB=90°．

∵S△APC=APPC=AOPC，S△BCD=CDAO，OA=BE，

∴=，

設PC=2a，則CD=3a．

在△APC和△BEC中，

，

∴△APC≌△BEC（AAS），

∴PC=EC．

∵BD平分∠OBP的外角，CD∥x軸，

∴∠CBD=∠CDB，

∴CD=CB=3a．

在Rt△BCE中，CB=3a，CE=2a，

∴BE==a，

∴OB=AC+CE=CD+CE=5a，AD=AC+CD=2CD=6a，

∴．