Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點O與坐標原點重合，點C的坐標為（0，3），點A在x軸的正半軸上，直線y＝x﹣1交邊AB、OA于點D、M，反比例函數的圖象經過點D，與BC的交點為N．

（1）求BN的長．

（2）點P是直線DM上的動點（點P不與點D、點M重合），連接PB、PC、MN，當△BCP的面積等于四邊形ABNM的面積時，求點P的坐標．

（3）在（2）的條件下，連接CP，以CP為邊作矩形CPEF，使矩形的對角線的交點G落在直線DM上，請寫出點G的坐標．

Answer 1

【答案】（1）1 （2）（7，6） （3）（，）

【解析】

（1）由正方形的性質可得出點A，B的坐標，利用一次函數圖象上點的坐標特征可得出點D的坐標，由點D的坐標，利用待定系數法可求出反比例函數解析式，再利用反比例函數圖象上點的坐標特征可得出點N的坐標，結合點B的坐標可求出BN的長；

（2）利用一次函數圖象上點的坐標特征可得出點M的坐標，利用梯形的面積公式可求出梯形ABNM的面積，設點P的坐標為（x，x-1）（x≠1，x≠3），利用三角形的面積公式結合△BCP的面積等于梯形ABNM的面積，即可得出關于x的含絕對值符號的一元一次方程，解之即可得出結論；

（3）過點C作CF⊥CP，交DM于點F，設點F的坐標為（n，n-1），結合點C，P的坐標，利用兩點間的距離公式可求出的值，利用勾股定理可得出關于n的一元一次方程，解之即可得出點F的坐標，再結合點G為線段PF的中點，即可求出點G的坐標．

解：（1） 正方形OABC

點A的坐標為（3，0），點B的坐標為（3，3）．

當x＝3時，y＝x﹣1＝2，

∴點D的坐標為（3，2）．

將D（3，2）代入，得：，解得：m＝6，

∴反比例函數解析式為．

當y＝3時，，解得：x＝2，

∴點N的坐標為（2，3），

∴BN＝3﹣2＝1．

（2）當y＝0時，x﹣1＝0，解得：x＝1，

∴點M的坐標為（1，0），

∴AM＝2，

梯形AMNB．

如圖1，設點P的坐標為（x，x﹣1）（x≠1，x≠3），

,

解得：（舍去），，

∴點P的坐標為（7，6）．

（3）過點C作CF⊥CP，交DM于點F，

如圖2所示．設點F的坐標為（n，n﹣1）．

∵點C的坐標為（0，3），點P的坐標為（7，6），

∴

∵∠PCF＝90°，

∴，

即

解得：，

∴點F的坐標為（）．

又∵點G為矩形對角線的交點，

G為線段PF的中點，

∴點G的坐標為（）．