Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，點E是直線AC上一動點，連接DE，過點D作FD⊥ED，交直線BC于點F.

(1)如圖1，當點E在線段AC上時，求證：△DEC∽△DFB.

(2)當點E在線段AC的延長線上時，(1)中的結論是否仍然成立？若成立，請結合圖2給出證明；若不成立，請說明理由；

(3)若AC＝，BC＝2，DF＝4，請直接寫出CE的長.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)成立，理由見解析；(3)CE＝2或CE＝.

【解析】

(1)首先證明∠ACD＝∠B，∠EDC＝∠BDF，得到△DEC∽△DFB.

(2)方法和(1)一樣，首先證明∠ACD＝∠B，∠EDC＝∠BDF，得到△DEC∽△DFB.

(3)由(2)的結論得出△ADE∽△CDF，判斷出CF＝2AE，求出EF，再利用勾股定理，分三種情形分別求解即可.

(1)證明：如圖1中，

∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，

∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，

∴∠ACD＝∠B，

∵DE⊥DF，

∴∠EDF＝∠CDB＝90°，

∴∠CDE＝∠BDF，

∴△DEC∽△DFB.

(2)結論成立.

理由：如圖2中，

∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，

∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，

∴∠ACD＝∠B，

∴∠DCE＝∠A+90°，

∠DBF=∠A+90°，，

∴∠DCE＝∠DBF，

∵DE⊥DF，

∴∠EDF＝∠CDB＝90°，

∴∠CDE＝∠BDF，

∴△DEC∽△DFB.

(3)∵∠ACD＝∠B，∠ADC＝∠BDC，

∴△ADC∽△CDB

∴＝＝，

由(2)有，△CDE∽△BDF，

∵＝＝，

∴＝＝＝，

∴CF＝2AE，

在Rt△DEF中，DE＝2，DF＝4，

∴EF＝＝＝2，

①當E在線段AC上時，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2(AC﹣CE)＝2(﹣CE)，EF＝2，

根據勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，

∴CE2+[2(﹣CE)]2＝40

∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）

而AC＝＜CE，

∴此種情況不存在，

②當E在AC延長線上時，

在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2(AC+CE)＝2(+CE)，EF＝2，

根據勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，

∴CE2+[2(+CE)]2＝40，

∴CE＝，或CE＝﹣2(舍)，

③如圖3中，當點E在CA延長線上時，

CF＝2AE＝2(CE﹣AC)＝2(CE﹣)，EF＝2，

根據勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，

∴CE2+[2(CE﹣)]2＝40，

∴CE＝2，或CE＝﹣(舍)

即：CE＝2或CE＝.