Question

兩個全等的直角三角形ABC和DEF重疊在一起,其中∠A=60°,AC=1.固定△ABC不動,將△DEF進行如下操作：

(1)如圖1,△DEF沿線段AB向右平移(即D點在線段AB內移動) ,連結DC、CF、FB，四邊形CDBF的形狀在不斷的變化,但它的面積不變化,四邊形CDBF面積為 _______；

(2)如圖2,當D點移到AB的中點時,請你猜想四邊形CDBF的形狀,并說明理由．

(3)如圖3,△DEF的D點固定在AB的中點,然后繞D點按順時針方向旋轉△DEF,使DF落在AB邊上,此時F點恰好與B點重合,連結AE,請你求出sin∠AED的值． 

 

Answer 1

(1) (2)菱形（3）

解析:解：（1）            ………………………2分

(2)菱形              ………………………3分

∵CD∥BF，FC∥BD，

 ∴四邊形CDBF是平行四邊形   ……………………… 4分

∵DF∥AC,∠ACB=90^O,

 ∴CB⊥DF              ……………………………  5分

∴四邊形CDBF是菱形    …………………………… 6分

（判斷四邊形CDBF是平行四邊形，并證明正確，記2分）

（3）解法一：過D點作DH⊥AE于H,

 則S_△ADE=       …………………………… 7分

又S_△ADE=  ……………………9分

∴在Rt△DHE中，sin∠AED=      ……………………10分

解法二：∵△ADH∽△ABE                 …………………… 7分

∴    即：    ………………… 8分

∴             ……………………………… 9分

∴sin∠AED=    ……………………………… 10分

（1）根據平移的性質，可得AD=BE，CF∥BD．所以三角形ACD的面積等于三角形BEF的面積，則梯形的面積就等于直角三角形ABC的面積；

（2）根據直角三角形一邊上的中線等于斜邊的一半，以及平移的性質可以證明該四邊形的四條邊相等，則該四邊形是菱形．

（3）根據三角函數的概念解答