Question

【題目】一位同學拿了兩塊45°三角尺△MNK，△ACB做了一個探究活動：將△MNK的直角頂點M放在△ABC的斜邊AB的中點處，設AC=BC=4．

（1）如圖1，兩三角尺的重疊部分為△ACM，則重疊部分的面積為 ，周長為 ．

（2）將圖1中的△MNK繞頂點M逆時針旋轉45°，得到圖2，此時重疊部分的面積為 ，周長為 ．

（3）如果將△MNK繞M旋轉到不同于圖1和圖2的圖形，如圖3，請你猜想此時重疊部分的面積為 ．

（4）在圖3情況下，若AD=1，求出重疊部分圖形的周長．

Answer 1

【答案】（1）4，4+4；（2）4，8；（3）4；（4）4+2．

【解析】

試題分析：（1）根據AC=BC=4，∠ACB=90°，得出AB的值，再根據M是AB的中點，得出AM=MC，求出重疊部分的面積，再根據AM，MC，AC的值即可求出周長；

（2）易得重疊部分是正方形，邊長為AC，面積為AC2，周長為2AC．

（3）過點M分別作AC、BC的垂線MH、ME，垂足為H、E．求得Rt△MHD≌Rt△MEG，則陰影部分的面積等于正方形CEMH的面積．

（4）先過點M作ME⊥BC于點E，MH⊥AC于點H，根據∠DMH=∠EMH，MH=ME，得出Rt△DHM≌Rt△EMG，從而得出HD=GE，CE=AD，最后根據AD和DF的值，算出DM=，即可得出答案．

解：（1）∵AC=BC=4，∠ACB=90°，

∴AB===4，

∵M是AB的中點，

∴AM=2，

∵∠ACM=45°，

∴AM=MC，

∴重疊部分的面積是=4，

∴周長為：AM+MC+AC=2+2+4=4+4；

故答案為：4，4+4；

（2）∵疊部分是正方形，

∴邊長為×4=2，面積為×4×4=4，

周長為2×4=8．

故答案為：4，8．

（3）過點M分別作AC、BC的垂線MH、ME，垂足為H、E，

∵M是△ABC斜邊AB的中點，AC=BC=4，

∴MH=BC，

ME=AC，

∴MH=ME，

又∵∠NMK=∠HME=90°，

∴∠NMH+∠HMK=90°，∠EMG+∠HMK=90°，

∴∠HMD=∠EMG，

在△MHD和△MEG中，

∵，

∴△MHD≌△MEG（ASA），

∴陰影部分的面積等于正方形CEMH的面積，

∵正方形CEMH的面積是MEMH=×4××4=4；

∴陰影部分的面積是4；

故答案為：4．

（4）如圖所示：

過點M作ME⊥BC于點E，MH⊥AC于點H，

∴四邊形MECH是矩形，

∴MH=CE，

∵∠A=45°，

∴∠AMH=45°，

∴AH=MH，

∴AH=CE，

在Rt△DHM和Rt△GEM中，，

∴Rt△DHM≌Rt△GEM．

∴GE=DH，

∴AH﹣DH=CE﹣GE，

∴CG=AD，

∵AD=1，

∴DH=1．

∴DM==

∴四邊形DMGC的周長為：

CE+CD+DM+ME

=AD+CD+2DM=4+2．