Question

【題目】如圖，拋物線y＝a（x﹣m﹣1）2+2m（其中m＞0）與其對稱軸l相交于點P．與y軸相交于點A（0，m）連接并延長PA、PO，與x軸、拋物線分別相交于點B、C，連接BC將△PBC繞點P逆時針旋轉，使點C落在拋物線上，設點C、B的對應點分別是點B′和C′．

（1）當m＝1時，該拋物線的解析式為：　 　．

（2）求證：∠BCA＝∠CAO；

（3）試問：BB′+BC﹣BC′是否存在最小值？若存在，求此時實數m的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+1；（2）見解析；（3）BB′+BC﹣BC′存在最小值，m＝1+.

【解析】

（1）把點A的坐標代入二次函數表達式得：m＝a（﹣m﹣1）2+2m，解得：a＝﹣，把m＝1代入上式，即可求解；

（2）求出點B、C的坐標，即可求解；

（3）當點B′落在BC′所在的直線時，BB′+BC﹣BC′存在最小值，證△BAO∽△POD，即可求解．

解：（1）把點A的坐標代入二次函數表達式得：m＝a（﹣m﹣1）2+2m，解得：a＝﹣，

則二次函數的表達式為：y＝﹣（x﹣m﹣1）2+2m…①，

則點P的坐標為（m+1，2m），點A的坐標為（0，m），

把m＝1代入①式，整理得：y＝﹣x2+x+1，

故：答案為：y＝﹣x2+x+1；

（2）把點P、A的坐標代入一次函數表達式：y＝kx+b得：

，解得：，

則直線PA的表達式為：y＝x+m，

令y＝0，解得：x＝﹣m﹣1，即點B坐標為（﹣m﹣1，0），

同理直線OP的表達式為：y＝x…②，

將①②聯立得：a（x﹣m﹣1）2+2m﹣x＝0，其中a＝﹣，

該方程的常數項為：a（m+1）2+2m，

由韋達定理得：x1x2＝xCxP＝＝＝﹣（m+1）2，

其中xP＝m+1，

則xC＝﹣m﹣1＝xB，

∴BC∥y軸，

∴∠BCA＝∠CAO；

（3）如圖當點B′落在BC′所在的直線時，BB′+BC﹣BC′存在最小值，

設：直線l與x軸的交點為D點，連接BB′、CC′，

∵點C關于l的對稱點為C′，

∴CC′⊥l，而OD⊥l，∴CC′∥OD，∴∠POD＝∠PCC′，

∵∠PB′C′+∠PB′B＝180°，

△PB′C′由△PBC旋轉而得，

∴∠PBC＝∠PB′C′，PB＝PB′，∠BPB′＝∠CPC′，

∴∠PBC+∠PB′B＝180°，

∵BC∥AO，

∴∠ABC+∠BAO＝180°，

∴∠PB′B＝∠BAO，

∵PB＝PB′，PC＝PC′，

∴∠PB′B＝∠PBB′＝，

∴∠PCC′＝∠PC′C＝，

∴∠PB′B＝∠PCC′，

∴∠BAO＝∠PCC′，

而∠POD＝∠PCC′，

∴∠BAO＝∠POD，

而∠POD＝∠BAO＝90°，

∴△BAO∽△POD，

∴，

將BO＝m+1，PD＝2m，AO＝m，OD＝m+1代入上式并解得：

m＝1+（負值已舍去）．